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\begin{document}

\title{
  \textbf{Canaux quantiques et théorème de Choi-Kraus}
  \\[1em]\Large Quelques bases du formalisme de la théorie quantique de l'information
}
\author{Félix Faisant\\Mémoire de L3 encadré par Amaury Freslon}
\maketitle

\begin{abstract}
Après avoir présenté les postulats de la mécanique quantique ainsi que les bases du formalisme tensoriel,
on introduit la notion de canal quantique en dimension finie, et on justifie, par le théorème de décomposition
de Choi-Kraus, le choix de l'identifier aux \textit{transformations complètement positives préservant la trace}.
On prend soin de développer les détails mathématiques. Regardant les postulats, quelques intuitions et justifications sont données.
\end{abstract}

\section{Contexte et postulats}

Parmi toutes les bizarreries de la physique quantique, la plus déroutante
est sans doute le comportement de ce que l'on appelle \textit{information}.
Si l'étude de l'information quantique n'est qu'une façon de voir la
physique quantique, elle touche aussi bien les fondamentaux de la
mécanique quantique et de ses interprétations (rôle de la mesure,
théorie de la décohérence, déterminisme et causalité) que
les applications pratiques (communication et informatique quantique).
Ce sont des domaines en pleine effervescence.

On ne discutera ici que d'un bout du formalisme mathématique de la
théorique quantique de l'information, à savoir les \textbf{canaux
quantiques} de dimension finie et leur couplage (formalisé grâce
à l'algèbre tensorielle), les opérateurs \textbf{complètements positifs},
et le \textbf{théorème de Choi-Kraus}. Ce mémoire se base
sur les notes du cours \textit{Intrication et Non-localité}
de Vern Paulsen\defcitealias{PM990}{PM990}\citepalias[2016]{PM990}.

\subsection{Postulats de la mécanique quantique : états et mesure}

On rappelle les postulats de la mécanique quantique (dans
l'interprétation de Born) puis on donne les postulats dans leur forme plus
générale, c'est à dire en prenant en compte les
\textit{mélanges statistiques d'états} et l'évolution non
unitaire. Pour une justification et une discussion approfondie de ces
postulats, on renvoie à tout manuel de mécanique quantique adoptant
ce système de postulats, par exemple [\citeauthor[ch.\,4 et §\,11.4.7]{Bellac}]
ou [\citeauthor[ch.\,12]{aslangul}].\\

\begin{axiom*}
Un système quantique est représenté par un espace de
Hilbert $(\mathcal{H}, \langle \cdummy | \cdummy \rangle)$. L'état du
système est représenté par vecteur $\psi \in \mathcal{H}$ unitaire
: $\| \psi \| = \langle \psi | \psi \rangle = 1$. Pour anticiper sur les
mélanges statistiques, on appelle un tel état un {\textbf{état
pur}}. On note $\mathcal{H}_{\mathsf{unit}}$ l'ensemble des vecteurs
unitaires.
\end{axiom*}

En mécanique quantique ondulatoire, $\mathcal{H}= \mathrm{L}^2
(\mathbb{R}^3)$ muni du produit hermitien usuel, et $\psi$ est appelé la
fonction d'onde du système étudié (par exemple une particule) : si
l'on dispose d'un appareil mesurant la position du système, la fonction
$\mathrm{x} \mapsto \left| \psi \left( \mathrm{x} \right) \right|^2$ est la
densité de probabilité d'observer le système en $\mathrm{x}$. Il
est alors nécessaire d'imposer que $\langle \psi | \psi \rangle = \int |
\psi |^2 = 1$ pour obtenir une densité de probabilité. On note que
comme la mécanique ondulatoire est {\textit{linéaire}} (« 
principe de superposition ») et nécessite $\mathbb{C}$
(équation de Schrödinger et interférences), il est naturel de se
placer dans un espace de Hilbert. Ici, comme souvent en théorie quantique
de l'information, {\textit{on se limite à des espaces de dimension finie}}.\\

\begin{axiom*}\textup{\textbf{(Postulat historique de Born)}}

Si $\phi \in \mathcal{H}_{\mathsf{unit}}$ est un état pur, et si l'on dispose d'un
appareil effectuant une telle mesure, pour tout système représenté
par un état pur $\psi \in \mathcal{H}_{\mathsf{unit}}$, la probabilité
de mesurer le système dans l'état $\phi$ est
\begin{equation}
  p (\psi \rightsquigarrow \phi) \  =\  | \langle \phi | \psi \rangle |^2
\end{equation}
et, immédiatement après l'observation, le système se trouve dans
l'état mesuré $\phi$.
\end{axiom*}

Si l'on reprend l'exemple de $\mathcal{H}= \mathrm{L}^2 (\mathbb{R}^3)$
représentant une particule, ainsi qu'une boite $B \subset \mathbb{R}^3$ et
de l'état $\phi = \frac{\mathbbm{1}_B}{\operatorname{Volume} (B)}$, l'appareil effectue la
mesure de présence dans la boite, et $p (\psi \rightsquigarrow \phi)$ est
la probabilité que l'on observe l'état $\psi$ dans la boite. Et
immédiatement après cette observation, la particule est dans
l'état $\phi$, que l'on interprète usuellement par le fait que la
particule est présente dans la boite avec une probabilité uniforme.
C'est ainsi que l'on nomme « réduction du paquet d'onde » le
deuxième point\footnote{Cette projection
instantanée défie nos intuitions de continuité et est sujette
à controverse depuis la naissance de la mécanique quantique. La
« réduction du paquet d'onde »
(\textit{collapse}) est toutefois nécessaire pour assurer la cohérence
logique de la théorie en l'état [\citeauthor[§12.1.4]{aslangul}], et
ses conséquences sont vérifiées par l'expérience (effet Zénon
quantique\textellipsis)}. Nous n'en auront pas usage ici, mais il est
mentionné car la résolution de ce problème est (pour simplifier)
une des raisons d'être de la théorie de la décohérence. Une
partie de la communauté cherche en effet à modifier et
{\textit{démontrer}} cet axiome dans un cadre plus général.

Si la notion d'état pur est utile pour concevoir des sujets d'examen et
idéaliser des situations, on ne sait jamais en réalité dans quel
état un système est. Pour deux raisons : il est rare de préparer
ou de disposer d'état purs, et les systèmes sont toujours en
interaction avec un environnement que l'on ne maîtrise pas. Il est alors
nécessaire de décrire de façon probabiliste (on dit
{\textit{statistique}} pour différencier, à tort ou à raison, avec
le processus de mesure, lui aussi probabiliste) l'état d'un système :
on parle de {\textbf{mélange d'états}}.

Commençons par une remarque : si l'on pose l'état $\psi' =
\e^{\iu \theta} \psi$ (changement de phase globale), on obtient
\[ p (\psi' \rightsquigarrow \phi) = | \langle \phi | \psi' \rangle |^2 = |
   \e^{\iu \theta} \langle \phi | \psi \rangle |^2 = | \langle \phi |
   \psi \rangle |^2 = p (\psi \rightsquigarrow \phi) \]
et ce pour tout état $\phi$. étant donné que {\textit{seules les
probabilités sont accessibles par l'expérience}}, on en déduit que
$\psi'$ représente le même état. Si l'on pose alors
l'opérateur $P_{\psi} = \psi \psi^*$, où $\psi^* \assign \langle \psi | \cdummy
\rangle$ est le dual hermitien de $\psi$, on remarque que $P_{\psi'} = \psi'
\psi^{\prime \ast} = \e^{\iu \theta} \psi \e^{- \iu \theta}
\psi^* = \psi \psi^* = P_{\psi}$ : cet opérateur est bien
{\textit{invariant par changement de phase globale}}. Et surtout, on retrouve $p
(\psi \rightsquigarrow \phi)$ à partir de $P_{\psi}$ :
\[ \tr(P_{\phi} P_{\psi}) = \tr(\phi \phi^* \psi
   \psi^*) = \tr(\psi^* \phi \phi^* \psi) = \tr
   \big(\langle \phi | \psi \rangle  \langle \psi | \phi \rangle\big) = \langle \phi |
   \psi \rangle  \langle \psi | \phi \rangle = | \langle \phi | \psi \rangle
   |^2 = p (\psi \rightsquigarrow \phi) \]
en utilisant l'identité de trace\footnote{On se permet quelques raccourcis
dans les notations, en notant de manière multiplicative à la fois la
composition d'opérateurs et la multiplication scalaire. Si l'on veut
être très explicite, on peut écrire que $P_{\psi} = \psi
\psi^* = \langle \psi | \cdummy \rangle \psi$, puis
\[ \tr(P_{\phi} P_{\psi}) = \tr\Big(\big(\langle \phi | \cdummy \rangle
   \phi\big) \circ \big(\langle \psi | \cdummy \rangle \psi\big)\Big) = \tr\Big(\big\langle \phi |
   \langle \psi | \cdummy \rangle \psi \big\rangle \phi\Big) = \tr\big(\langle \psi |
   \cdummy \rangle  \langle \phi | \psi \rangle \phi\big) = \langle \phi | \psi
   \rangle \tr\big(\langle \psi | \cdummy \rangle \phi\big) \]
puis comme $\langle \psi | \cdummy \rangle \phi = (\lambda \mapsto \lambda
\phi) \circ \langle \psi | \cdummy \rangle$, on a par l'identité de trace
en $(\ast)$ :
\[ \tr \big(\langle \psi | \cdummy \rangle \phi\big) = \tr \big((\lambda
   \mapsto \lambda \phi) \circ \langle \psi | \cdummy \rangle\big)
   \overset{(\ast)}{=} \tr \big(\langle \psi | \cdummy \rangle \circ (\lambda
   \mapsto \lambda \phi)\big) = \tr \big(\lambda \mapsto \langle \psi | \lambda
   \phi \rangle\big) = \tr \big(\lambda \mapsto \lambda \langle \psi | \phi
   \rangle\big) = \langle \psi | \phi \rangle \]
donc $\tr(P_{\phi} P_{\psi}) = \langle \phi | \psi \rangle \tr
\big(\langle \psi | \cdummy \rangle \phi\big) = \langle \phi | \psi \rangle \langle
\psi | \phi \rangle = \left| \langle \phi | \psi \rangle \right|^2$. On se permettra ce
genre de raccourcis dans la suite.}. On n'a donc rien perdu au change en
passant de $\psi$ à $P_{\psi}$.

Vérifions enfin quelques propriétés importantes de cet opérateur :
\begin{itemize}
  \item $P_{\psi}$ est hermitien (ou auto-adjoint) : $P_{\psi}^* = (\psi
  \psi^*)^* = \psi^{\ast \ast} \psi^* = \psi \psi^* =
  P_{\psi}$.
  
  \item $P_{\psi}$ est positif : $\forall \chi \in \mathcal{H},
  \ \langle \chi | P_{\psi} \chi \rangle =
  \langle \chi | \psi \psi^* \chi \rangle = \big\langle \chi | \psi \langle \psi |
  \chi \rangle \big\rangle = \langle \psi | \chi \rangle  \langle \chi | \psi \rangle =
  | \langle \psi | \chi \rangle |^2 \geqslant 0$
  
  \item $P_{\psi}$ est de trace unité : $\tr(P_{\psi}) = \tr
  (\psi \psi^*) = \tr(\psi^* \psi) = \langle \psi | \psi
  \rangle = 1$.
  
  \item $P_{\psi}$ est un projecteur : $P_{\psi}^2 = \psi \psi^* \psi
  \psi^* = \psi \langle \psi | \psi \rangle \psi^* = 1 \psi
  \psi^* = P_{\psi}$.
\end{itemize}
\pagebreak

On rappelle les caractérisations de la positivité [\citeauthor[ch.\,\textsc{viii}, th.\,3.6 \& 3.8]{conway}]
d'un opérateur hermitien de la C*-algèbre $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ :
\begin{eqnarray*}
  A \text{ positif} & \Longleftrightarrow & \forall x \in \mathcal{H},
  \ \langle x | Ax \rangle \geqslant 0 \quad
  \text{\small{(la forme hermitienne associée est positive)}}\\
  & \Longleftrightarrow & \operatorname{Sp} (A) \subset \mathbb{R}_+\\
  & \Longleftrightarrow & \exists V \in \mathcal{L} (\mathcal{H})
  \ \suchthat \  A
  = V^* V\\
  & \Longleftrightarrow & \exists W \in \mathcal{L} (\mathcal{H}) \text{
  hermitien } \suchthat \  A = W^2
\end{eqnarray*}
équivalences prouvées par décomposition spectrale. On note
$\mathcal{L}^+ (\mathcal{H})$ l'ensemble des opérateurs hermitiens
positifs sur $\mathcal{H}$, et $\mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H}) =
\left\{ A \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}) \ :
\ \tr(A) = 1 \right\}$ ceux de trace unité.


Sautons sans plus attendre aux mélanges statistiques. Donnons nous une
famille d'états associés à une probabilité $(\psi_{\ell},
\rho_{\ell})_{1 \leqslant \ell \leqslant r} \in \left(
\mathcal{H}_{\mathsf{unit}}\!\times\![0,1]\right)^r$, telle que 
$\sum_{\ell}\rho_{\ell} = 1$. On pose alors
\begin{equation}
  P \  = \ 
  \sum_{\ell} \rho_{\ell} P_{\psi_{\ell}} \  =
  \ \sum_{\ell} \rho_{\ell} \psi_{\ell}
  \psi_{\ell}^* \ \label{def-op-mélange-propre}
\end{equation}
l'opérateur associé au {\textbf{mélange propre}} $(\psi_{\ell},
\rho_{\ell})_{\ell}$, somme pondérée de projecteurs, décrivant un
système qui est dans l'état $\psi_{\ell}$ avec une probabilité
$\rho_{\ell}$. On vérifie alors que $P$ est positif :
\[ \forall \chi \in \mathcal{H}, \quad \langle \chi | P \chi \rangle
   \ = \ \bigg\langle \chi \bigg| \sum_{\ell} \rho_{\ell} \psi_{\ell}
   \psi_{\ell}^* \chi \bigg\rangle \  =
   \ \sum_{\ell} \rho_{\ell}  \big\langle \chi |
   \psi_{\ell} \psi_{\ell}^* \chi \big\rangle \ 
   = \ \smash{\sum_{\ell} \rho_{\ell} 
   \overbrace{| \langle \psi_{\ell} | \chi \rangle |^2}^{\geqslant 0}}
   \ \geqslant \  0
\]
De même, puisque $\tr(P_{\psi_{\ell}}) = \tr(\psi_{\ell}
\psi_{\ell}^*) = 1$, cet opérateur est de trace $\tr(P) = 1$.
Enfin, la formule ci-dessus $\tr(P_{\phi} P_{\psi}) = p (\psi
\rightsquigarrow \phi)$ se généralise aux mélanges propres :
\begin{equation}
  \tr(P_{\phi} P) \ = \ \sum_\ell \rho_\ell \tr(P_\phi P_{\psi_\ell})
  \ = \ \sum_{\ell} \rho_\ell \left| \langle \phi |
  \psi_{\ell} \rangle \right|^2 \  =
  \ \sum_{\ell} \rho_\ell\, p (\psi_{\ell}
  \rightsquigarrow \phi)
\end{equation}
ce qui est ce que l'on attendait : la probabilité $p (P
\rightsquigarrow \phi) \assign \tr(P_{\phi} P)$ d'observer le
système dans l'état pur $\phi$ est la somme des $p (\psi_{\ell}
\rightsquigarrow \phi)$, pondérée par la probabilité $\rho_\ell$
que le système fut dans l'état $\psi_{\ell}$.

On généralise ainsi les états purs aux mélanges d'états :\\

\begin{axiom}
  Un système quantique est représenté par un espace de Hilbert
  $(\mathcal{H}, \langle \cdummy | \cdummy \rangle)$. L'état du
  système est représenté par un {\textbf{opérateur
  statistique}} $P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H})$,
  c'est-à-dire hermitien positif de trace unité.
  
  À un {\textbf{mélange propre}} $(\psi_{\ell}, \rho_{\ell})_{1
  \leqslant \ell \leqslant r} \in \left( \mathcal{H}_{\mathsf{unit}}\!\times
  \!\mathbb{R}_+ \right)^r$ où $\sum_{\ell} \rho_{\ell} = 1$, on associe
  l'opérateur statistique
  \begin{equation}
    P \ = \ \sum_{\ell=1}^r \rho_{\ell} P_{\psi_{\ell}} \label{mélange-propre}
  \end{equation}
\end{axiom}

Un opérateur statistique est parfois appelé {\textit{matrice de
densité}}. À noter que si les mélanges propres donnent
naturellement un opérateur statistique, il n'y a aucune raison qu'un tel
opérateur s'écrive sous la forme (\ref{def-op-mélange-propre}) dans
une base $(\psi_i)_i$ fixée. C'est le cas d'un {\textit{mélange
impropre}}, qui représente un sous-système couplé d'un système
plus grand, par exemple un système étudié, que l'on maîtrise,
couplé avec son environnement, que l'on ne maîtrise pas. On détaillera
cette notion de couplage dans la suite. Toutefois, puisque $P$ est hermitien,
par le théorème spectral, il existe une base orthonormale
$(\varphi_i)_i$ dans laquelle sa matrice $\diag (p_i)_i$ soit diagonale,
c'est-à-dire $P = \sum_i \rho_i \varphi_i \varphi_i^*$. Alors,
puisque $\tr(P) = 1$, $\sum_i \rho_i = 1$. On garde toutefois à
l'esprit que $(\psi_i, \rho_i)_i$ n'est pas le mélange propre de $P$ en
général\footnote{La base dans laquelle on travaille est fixée
lorsque le dispositif expérimental est fixé. Néanmoins, en
pratique, rien ne distingue un mélange propre d'un mélange impropre.
C'est surtout une différence conceptuelle, qui est pourtant fondamentale
pour la théorie de la mesure [\citeauthor[p.393, p.429]{Bellac}].}.\\

On généralise de même le postulat de Born aux mélanges d'états :\\

\begin{axiom*}
Si $\phi \in \mathcal{H}$ est un état pur ($\| \phi \| = 1$), et
si l'on dispose d'un appareil effectuant une telle mesure, pour tout
système représenté par un mélange d'état $P \in
\mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H})$, la probabilité de mesurer le
système dans l'état $\phi$ est (toujours avec $P_{\phi}$ le projecteur
sur $\phi$) :
\begin{equation}
  p (P \rightsquigarrow \phi) \ =\ \tr(P_{\phi} P) \ \label{proba-obs-mélange}
\end{equation}
et, immédiatement après l'observation, le système se trouve dans l'état mesuré $\phi$.
\end{axiom*}

On remarque que puisque $P_{\phi} = P_{\phi}^2 = P_{\phi} P_{\phi}^*$, on
peut écrire $p (P \rightsquigarrow \phi) = \tr(P_{\phi}
PP_{\phi}^*)$. De plus, l'état après mesure est $\phi$,
c'est-à-dire $P_{\phi}$ sous forme d'opérateur. Si l'on complète
la famille $(\phi)$ en une base orthogonale, on a dans cette base $\mat(P_{\phi})
= [\mathbbm{1}_{i, 1} \mathbbm{1}_{j, 1}]_{i, j}$ et $\mat(P) =
[\rho_{i, j}]_{i, j}$ et on remarque alors que $\mat(P_{\phi}
PP_{\phi}^*) = [\rho_{1, 1} \mathbbm{1}_{i, 1} \mathbbm{1}_{j, 1}]_{i, j} =
\mat(\rho_{1, 1} P_{\phi})$ et donc $p (P \rightsquigarrow \phi) =
\tr(P_{\phi} PP_{\phi}^*) = \rho_{1, 1}$. Donc immédiatement
après mesure (et si $p (P \rightsquigarrow \phi) \neq 0$, sinon ça
n'a pas d'intérêt) $P_{\mathsf{post}} = P_{\phi} = \frac{P_{\phi}
PP_{\phi}^*}{\tr(P_{\phi} PP_{\phi}^*)}$.

Ce postulat n'est que temporaire, il ne sert qu'à introduire
l'axiomatisation suivante d'une mesure, beaucoup plus générale, que
l'on peut déduire des remarques que l'on vient de faire :\\

\begin{axiom}
  Une mesure d'un système quantique dont les issues sont indexées par
  $k \in \llbracket 1, m \rrbracket$ est représentée par une famille
  d'opérateurs linéaires, que l'on appelle un {\textbf{système
  de mesure}},
  \[ \left( M_k : \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \longrightarrow
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant m} \in
     \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}}, \mathcal{H}_{\mathsf{o}}
     \right)^m \]
  avec $\mathcal{H}_{\mathsf{s}}$ l'espace des états avant la mesure
  (state space) et $\mathcal{H}_{\mathsf{o}}$ l'espace des états après
  la mesure (outcome space), tels que, pour un mélange d'état $P \in
  \mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right)$, la
  probabilité d'observer l'issue n{\textdegree}\,$k$ est
  \begin{equation}
    p_k (P) \ = \ \tr(M_k PM_k^*)
    \qquad \text{avec} \qquad \sum_{k = 1}^m p_k(P) \ = \ 1
    \label{sys-mesure-proba}
  \end{equation}
\end{axiom}

En particulier, si l'on a un état pur $\psi \in \mathcal{H}_{\mathsf{s}}$,
alors $P = P_{\psi}$ et $p_k = \tr(M_k P_{\psi} M_k^*) = \tr
(M_k \psi \psi^* M_k^*) = \tr \big((M_k \psi) (M_k \psi)^*\big)
= \langle M_k \psi | M_k \psi \rangle$ donc la probabilité d'observer l'issue
n{\textdegree}\,$k$ est :
\begin{equation}
  p_k = \| M_k \psi \|^2 \label{sys-mesure-proba-pure}
\end{equation}


Donnons tout de suite une condition plus pratique pour que le système de
mesure définisse bien une probabilité : $\forall \psi \in
(\mathcal{H}_{\mathsf{s}})_\mathsf{unit}$, on doit avoir
\[ 1 \ = \ \sum_{k
   = 1}^m p_k (\psi) \  = \ \sum_{k = 1}^m \langle M_k \psi | M_k \psi \rangle \
   = \ \sum_{k = 1}^m \langle \psi | M_k^* M_k \psi \rangle \  =
   \ \langle \psi | M \psi \rangle \quad
   \text{avec} \quad M = \sum_{k = 1}^m M_k^* M_k \]
$M$ étant clairement hermitien, on peut le diagonaliser dans une base
orthonormale $(\varphi_i)_i$ dans laquelle $\mat(M) = \diag
(\lambda_i)_i$. Alors $\forall i$, $1 = \langle \varphi_i | M \varphi_i
\rangle = \langle \varphi_i | \lambda_i \varphi_i \rangle = \lambda_i  \langle
\varphi_i | \varphi_i \rangle = \lambda_i$, donc $\mat(M) = 1$, donc $M
= 1$ puisque l'identité commute avec les matrices de changement de base.
Réciproquement, si l'on a $\sum_{k = 1}^m M_k^* M_k = 1$, alors
$\forall P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}}
\right)$,
\[ \sum_{k = 1}^m p_k \ =\ \sum_{k = 1}^m \tr(M_k PM_k^*) \ =\ \sum_{k =
   1}^m \tr(M_k^* M_k P) \ =\ \tr \left( \sum_{k=1}^m
   M_k^* M_k P \right) \ =\ \tr(1 P) \ =\ \tr(P) \ =\ 1 \]
Ainsi,
\begin{equation}
  \left( M_k : \mathcal{H}_\mathsf{s} \longrightarrow \mathcal{H}_\mathsf{o} \right)_{
  1 \leqslant k \leqslant m} \text{ \ système de mesure} \quad
  \Longleftrightarrow \quad \sum_{k = 1}^m M_k^* M_k \ = \ \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_{\mathsf{s}}}
  \label{sys-mesure-cond}
\end{equation}


La définition d'un système de mesure que l'on a donnée est la plus
générale ayant un sens (c'est-à-dire définissant une
probabilité) définie sur un tel ensemble d'issues\footnote{Dans ce texte,
on se place dans la {\textit{représentation de Schrödinger}} : cela signifie
que les opérateurs de mesure sont {\textbf{fixés}}, et ce sont les vecteurs
d'états (ou les mélanges statistiques) qui évoluent.
Cela semble évident, mais dans la {\textit{représentation de Heisenberg}},
qui décrit de façon équivalente une évolution quantique, c'est l'inverse.},
tout du moins en dimension finie.

Mais souvent, les systèmes de mesures étudiés sont des
{\textsc{p.o.m.v.}} ({\textit{positive-operator valued measure}}),
c'est-à-dire une famille $(F_k)_k \in
\mathcal{L}^+ (\mathcal{H})$ d'opérateurs positifs tels que $\sum_k F_k = 1$,
que l'on peut alors décomposer (de façon non unique)
en $F_k = M_k^* M_k$. Souvent même, dans les cours introductifs de
mécanique quantique, on étudie un seul opérateur hermitien $A$,
alors appelé {\textbf{observable}} et diagonalisable, et on énonce
le postulat précédent en terme de spectre (réel) et de projection
sur les espaces propres.

On peut regarder le cas particulier où système de mesure est
l'observation d'états purs d'une base orthonormale $(\psi_i)_{1 \leqslant
i \leqslant n}$, c'est-à-dire $M_i = \psi_i \psi_i^* = M_i^*$. La
probabilité de mesurer le système (représenté par le
mélange d'état $P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1}(\mathcal{H}_{\mathsf{s}})$)
dans l'état $\psi_i$ est alors, grâce à la formule de la trace,
\begin{equation}
  p_i = \tr(\psi_i \psi_i^* P \psi_i \psi_i^*) = \tr
  (\psi_i \psi_i^* P) = \tr(P_{\psi_i} P)
\end{equation}
ce qui est bien ce que l'on attendait (voir (\ref{proba-obs-mélange})).

Enfin, on peut regarder le cas où $P$ représente une mélange
propre $(\psi_{\ell}, \rho_{\ell})_{1 \leqslant \ell \leqslant r} \in \left(
\mathcal{H}_{\mathsf{unit}} \!\times\! \mathbb{R}_+ \right)^r$ : la
probabilité d'observer l'issue n{\textdegree}\,$k$ est donnée par
\begin{equation}
  p_k \  = \ \tr(M_k PM_k^*) \  = \ \tr \bigg( M_k  \sum_{\ell}
  \rho_{\ell} P_{\psi_{\ell}} M_k^* \bigg) \ = \ \sum_{\ell} \rho_{\ell}
  \tr(M_k P_{\psi_{\ell}} M_k^*) \overset{\text{
  (\ref{sys-mesure-proba-pure}) }}{=} \sum_{\ell} \rho_{\ell}\,\| M_k
  \psi_{\ell} \|^2
\end{equation}
qui est la somme pondérée par les coefficients de mélange
$\rho_{\ell}$ des probabilités (\ref{sys-mesure-proba-pure}) d'observer
cette issue pour l'état pur $\psi_{\ell}$, résultat intuitif que l'on
aurait pu utiliser pour déterminer la formule (\ref{sys-mesure-proba}) générale
\citepalias[th.\,3.9]{PM990}. On remarque ici que, si deux mélanges
propres $(\psi_{\ell}, \rho_{\ell})_{\ell}$, $(\psi_{\ell}',
\rho_{\ell}')_{\ell}$ ont le même opérateur $P$, puisque {\textit{seules
les probabilités $p_k (P)$ sont accessibles par l'expérience}}, aucun
système de mesure ne peut les distinguer. On peut aisément trouver des
mélanges propres distincts ayant le même opérateur statistique,
cela justifie donc le formalisme de l'opérateur statistique.

\

On énonce le postulat d'évolution de l'état après observation
par le système de mesure :\\

\begin{axiom}
  Immédiatement après l'observation de l'issue n{\textdegree}\,$k$, le
  système se trouve dans l'état
  \begin{equation}
    P_{\mathsf{post}, k} \  =
    \ \frac{M_k PM_k^*}{p_k}
    \  = \ 
    \ \frac{M_k PM_k^*}{\tr(M_k
    PM_k^*)} \ \in \mathcal{L}^+_{\tr
    1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right) \label{Ppostk}
  \end{equation}
\end{axiom}

On note que $P_{\mathsf{post}, k}$, qui n'est rien d'autre qu'une projection
normalisée, est de trace $\tr \left( P_{\mathsf{post}, k} \right) =
1$. De plus, $\forall \chi \in \mathcal{H}, \ 
\left\langle \chi \middle| P_{\mathsf{post}, k} \chi \right\rangle = p_k^{-1}
\chi^* M_k PM_k^* \chi = p_k^{-1}  (M_k^* \chi)^*
PM_k^* \chi = p_k^{-1}  \langle \chi' | P \chi' \rangle \geqslant 0$
avec $\chi' = M_k^* \chi$, donc $P_{\mathsf{post}, k}$ est encore
positif. C'est donc bien un opérateur statistique.

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[height=10em]{mesure_Ppostk.pdf}}
  \caption{Système de mesure et état individuel après observation de l'issue.}
\end{figure}

Mais quid du résultat d'une mesure lorsque l'on a {\textit{pas}} accès
à l'issue de l'observation ? Tout ce que l'on peut dire, c'est que l'on a
une probabilité $p_k$ que l'issue n{\textdegree}\,$k$ ait été
« observée »\footnote{La formulation
« que l'issue n{\textdegree}\,$k$ ait été observée
» peut être tout à fait remise en cause, surtout au vu
du mélange statistique que l'on obtient après. Si l'on a pas accès
à l'observation, c'est-à-dire isolé du système de mesure,
est-on en droit de dire que l'« observation » a
réellement eu lieu ? On pourrait très bien dire que le système de
mesure est en superposition d'état. On touche ici aux questions profondes,
et ouvertes, d'interprétation de la mécanique quantique.}. On a donc
affaire à un mélange propre $\left( P_{\mathsf{post}, k}, p_k
\right)_{1 \leqslant k \leqslant m}$, c'est-à-dire à l'opérateur
statistique (cf. (\ref{mélange-propre}))
\begin{equation}
  P_{\mathsf{post}} \  = \ \sum_{k = 1}^m p_k P_{\mathsf{post}, k} \ = \ \sum_{k = 1}^m p_k  \frac{M_k
  PM_k^*}{p_k} \  = \ \sum_{k = 1}^m M_k PM_k^* \label{Ppost}
\end{equation}
Puisque $\sum_{k = 1}^m p_k = 1$ et que $P_{\mathsf{post}, k} \in
\mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)$, on a
bien évidemment que $P_{\mathsf{post}} \in \mathcal{L}^+_{\tr 1}
\left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)$.

Comme on le verra, toute évolution quantique, par exemple la transmission
d'un photon dans une fibre optique, peut être représenté (de fa{\c
c}on non unique) comme un système de mesure, sans que l'on puisse parler
d'issue de mesure car on ne connaît pas l'état microscopique de la fibre
optique après transmission. La seule forme raisonnable de l'état
après « mesure » est alors celle d'un
mélange d'états.

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[height=9em]{mesure_Ppostbb.pdf}}
  \caption{Système de mesure et état individuel après mesure,
  d'issue inconnue, donnant un mélange d'états.}
\end{figure}

Une autre situation dans laquelle la forme (\ref{Ppost}) prend tout son sens
est lorsque l'on regarde non pas un état du système, mais un (grand)
ensemble de réalisations de la mesure (par exemple lorsque l'on étudie
une {\textit{population}} de photons, d'atomes\textellipsis). En effet, même
si la mesure sur chaque état individuel donne un état de la forme
$P_{\mathsf{post}, k}$, statistiquement, sur un grand nombre de
réalisations, on obtient $P_{\mathsf{post}}$ en moyenne.

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[height=10em]{mesure_Ppostall.pdf}}
  \caption{Système de mesure et statistique sur un ensemble de
  réalisation de mesures donnant un mélange d'états.}
\end{figure}

\subsection{Évolution et opérations quantiques}

Le formalisme mathématique que l'on va maintenant présenter a pour but
de décrire les {\textit{systèmes quantiques ouverts}}. Désormais
standard en théorique quantique de l'information, il est principalement
dû à Karl Kraus \citeyearpar{Kraus1983} et se base sur des travaux de Man-Duen Choi
\citeyearpar{Choi1975} et de Stinespring. Parmi les différents formalismes
établis, il a l'avantage de ne nécessiter que les opérateurs statistiques pour décrire un
système et son évolution.

Mentionnons tout d'abord que, lorsque le système
considéré est {\textit{isolé}} (n'interagissant pas avant
l'environnement, en particulier en dehors de toute mesure), un état pur
$\psi$ évolue dans le temps selon l'équation de Schrödinger :
\[ \iu \hbar \partial_t \psi (t) = H (t) \psi (t) \]
avec $H (t)$ le hamiltonien du système, qui est un opérateur hermitien
imposé par la physique du système. Dans le cadre plus général
des mélanges d'états, l'opérateur d'état $t \mapsto P (t)$
obéit à [\citeauthor[p.393]{Bellac}]
\[ \iu \hbar \partial_t P (t) = [P (t), H (t)] \]
avec $[\cdummy, \cdummy]$ le commutateur. Il est remarquable que l'on puisse
réécrire cette évolution ainsi :
\[ P (t) = U_t P_0 U_t^{-1} \quad \text{avec $U_t$ l'opérateur
   d'évolution de $t_0$ à $t$} \]
opérateur hermitien unitaire (vérifiant $U_t^{-1} = U_t^*$)
indépendant de l'état et vérifiant $\iu \hbar \partial_t U_t =
H (t) U_t$ et $U_{t = 0} = 1$. On parle alors d'évolution hamiltonienne,
et plus généralement d'{\textit{évolution unitaire}}.

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[width=22em]{evol-paquet.pdf}}
  \caption{Évolution hamiltonienne d'un paquet d'onde gaussien 1D.}
\end{figure}

Dans le cas particulier d'un état pur initial $\psi_0$, on remarque que le
système reste dans un état pur\footnote{On dit alors qu'il n'y a pas
décohérence de l'état} :
\[ \psi (t) = U_t \psi_0 \]
Mais lors d'une mesure, et plus généralement lorsque le système
interagit avec son environnement (on parle de système {\textit{ouvert}}),
l'évolution $P \rightarrow P_{\mathsf{post}}$ (\ref{Ppostk}) n'est en
général {\textit{pas}} unitaire, et peut même nécessiter de
changer d'espace. Pour généraliser l'évolution des
états d'un système ouvert, on postule que :\\

\begin{axiom}
  Toute évolution d'un système quantique est représentée par
  un opérateur linéaire
  \[ \Phi \ : \ \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right) \longrightarrow
     \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right) \]
  tel que tout opérateur statistique de $\mathcal{H}_{\mathsf{s}}$ est
  envoyé sur un opérateur statistique de $\mathcal{H}_{\mathsf{o}}$ :
  \[ \forall P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}}
     \right), \quad \Phi(P) \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right) \]
  dit {\textbf{opérateur d'évolution}}\footnote{Terme non standard.
  On a choisi ici d'éviter de parler d'{\textit{opération quantique}}. En effet,
  ce terme est parfois utilisé pour nommer notre opérateur
  d'évolution quantique, et parfois utilisé comme synonyme de
  {\textit{canal quantique}}, qui, lui, doit être de plus complètement
  positif.}.\label{postulat-op-évol}
\end{axiom}

L'évolution hamiltonienne $t_0 \rightarrow t$ est donné par
$\Phi_\mathsf{u} : P \mapsto U_t PU_t^{-1}$
sur $\mathcal{H}_{\mathsf{s}} =\mathcal{H}_{\mathsf{o}} =\mathcal{H}$. On
vérifie que $\forall P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H})$,
$\tr \left( \Phi_\mathsf{u} (P) \right) = \tr(U_t PU_t^{-1}) =
\tr(PU_t^{-1} U_t) = \tr(PU_t^* U_t) = \tr(P \mathbbm{1}) =
\tr(P)$. De plus, $\Phi_\mathsf{u} (P)$ est positif car $\forall x \in
\mathcal{H}, \ \left\langle x \middle|
\Phi_\mathsf{u} (P) x \right\rangle = \langle x | U_t PU_t^{-1} x \rangle =
\langle x | Px \rangle \geqslant 0$ puisque un opérateur unitaire conserve le
produit scalaire.

Si l'on effectue une mesure, représentée par un système de mesure
$\left( M_k : \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \longrightarrow \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)_{
1\leqslant k \leqslant m}$, l'opérateur d'évolution associé à
l'observation de l'issue n{\textdegree}\,$k$ est donné par (cf. \ref{Ppostk}) :
\begin{equation}
  \Phi_{\mathsf{m}, k} \  : \  P \longmapsto \frac{M_k PM_k^*}{\tr(M_k PM_k^*)}
\end{equation}
et lorsque l'on ne connaît pas l'issue de la mesure, ou qu'on regarde un
ensemble de réalisations de la mesure, l'évolution est donnée par
(cf. \ref{Ppost}) :
\begin{equation}
  \Phi_\mathsf{m} \  : \  P \longmapsto \sum_{k = 1}^m M_k PM_k^* \label{opevol_Ppost}
\end{equation}
pour lesquels on a déjà vérifié que les mélanges
d'états sont envoyés sur des mélanges d'états.

Donnons une caractérisation plus pratique de cette propriété :
\pagebreak

\begin{theorem} \textup{\textbf{(Opérateur d'évolution $\Leftrightarrow$ Transformation
positive préservant la trace)}}.\\
  Soit $\Phi : \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H}_2)$
  décrivant une évolution quantique, c'est-à-dire envoyant les
  opérateurs statistiques sont envoyés sur des opérateur
  statistique. Alors :\label{thm-opevol-pos-tr}
  
  \begin{enumerate}[label=\textup{\roman*.}]
    \item $\Phi$ est une {\textbf{transformation positive}} :\quad$\forall A
    \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1)$ opérateur positif, $\Phi(A) \in
    \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_2)$ positif
    
    \item $\Phi$ préserve la trace :\quad$\forall A \in \mathcal{L}
    (\mathcal{H}_1)$, \quad$\tr(\Phi(A)) = \tr(A)$
  \end{enumerate}
\end{theorem}

La réciproque est vraie par définition. {\fontspec{DejaVu Sans} ⚠︎} Ne pas
confondre la notion d'opérateur (hermitien) positif et celle de
transformation positive, que l'on peut définir plus généralement
comme une transformation de C*-algèbre envoyant les éléments
positifs de l'algèbre sur des éléments positifs.

{\small{\begin{proof}
  \quad On suppose que $\Phi$ envoie $\mathcal{L}^+_{\tr 1}
  (\mathcal{H}_1)$ dans $\mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H}_2)$.
  
  Soit $A \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1)$ un opérateur hermitien positif.\\
  Alors par le théorème spectral, $A$ est diagonalisable, ses valeurs
  propres sont positives, et $\tr(A) \geqslant 0$.
  \begin{itemize}
  	\setlength\itemsep{1em}

    \item Cas $\tr(A) = 0$ :\quad Alors $\displaystyle\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}
    (A)} \overbrace{\lambda}^{\geqslant 0} = \tr(A) = 0$ donc $\forall
    \lambda \in \operatorname{Sp} (A)$, $\lambda = 0$. Donc $A = 0$, donc $\Phi(A) =
    0$ est l'opérateur nul, qui est positif. De plus, $\tr(\Phi(A)) = 0 = \tr(A)$.
    
    \item Cas $\tr(A) > 0$ :\quad Alors $P \assign \tr(A)^{-1}
    \cdot A$ est positif et de trace $\tr(P) = 1$, donc $\Phi(P)
    \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H}_2)$, donc\\[-0.5em]
    \begin{itemize}[label=$\bullet$]
      \setlength\itemsep{1em}

      \item $\Phi(P) = \Phi(\tr(A)^{-1} A) = \tr(A)^{-1}
      \Phi(A)$ est un opérateur positif, \\
      donc $\forall x \in \mathcal{H}_1$, $\langle x | \Phi(A) x \rangle =
      \underbrace{\tr(A)}_{> 0}  \underbrace{\langle x | \Phi(P) x
      \rangle}_{\geqslant 0} \geqslant 0$ donc $\Phi(A)$ est encore positif.
      
      \item $1 = \tr(\Phi(P)) = \tr \left( \dfrac{\Phi
      (A)}{\tr(A)} \right) = \dfrac{\tr(\Phi(A))}{\tr
      (A)}$ donc $\tr(\Phi(A)) = \tr(A)$.
    \end{itemize}
  \end{itemize}\vspace*{0.5em}

  On peut alors prouver les deux points :
  \begin{enumerate}[label=\roman*.]
    \item $\forall A \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1)$ opérateur positif,
    on vient de montrer que $\Phi(A)$ est un opérateur positif.
    
    \item Soit $A \in \mathcal{L} (\mathcal{H}_1)$.
    \begin{itemize}
      \item Si $A$ est un positif, on vient de montrer que $\tr(\Phi
      (A)) = \tr(A)$.
      
      \item {
      \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
      \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
      Sinon, on se ramène au cas positif en effectuant une
      décomposition autoadjoint-antiautoadjoint :
      \[ A = H + \iu K \quad \text{avec} \quad H = \frac{A + A^*}{2}
         \text{ et } K = \frac{A - A^*}{2} \text{ hermitiens} \]
      ($\iu K$ anti-hermitien). On effectue alors une une décomposition
      en partie positive et négative\footnote{Si on a une matrice
      hermitienne $H \in \mathbb{M}_n (\mathbb{C})$, que l'on diagonalise en
      $H = O^{-1} \Delta O$ avec $\Delta = \diag (\lambda_i)_i$, on
      pose
      \begin{eqnarray*}
        \Delta_+ = \diag (\lambda_i  \mathbbm{1}_{\lambda_i > 0})_i & \quad
        \text{et} \quad & P_+ = O^{-1} \Delta_+ O \ \in \mathbb{M}_n^+ (\mathbb{C}) \text{ positive}\\
        \Delta_- = \diag (- \lambda_i  \mathbbm{1}_{\lambda_i < 0})_i & \quad
        \text{et} \quad & P_- = O^{-1} \Delta_- O \ \in \mathbb{M}_n^+ (\mathbb{C}) \text{ positive}
      \end{eqnarray*}
      et alors on a la décomposition $H \ = \ O^{-1}  (\Delta_+ - \Delta_-) O \ = \ P_+ - P_-$.} de $H$ :
      \[ \exists P_+, P_- \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1)
         \ \suchthat \ H = P_+ - P_- \]
      et alors on a montré que $\tr(\Phi(P_{\pm})) = \tr
      (P_{\pm})$. Donc par linéarité de $\Phi$ et de la trace,
      \[ \tr(\Phi(H)) = \tr(\Phi(P_+ - P_-)) = \tr(\Phi
         (P_+)) - \tr(\Phi(P_-)) = \tr(P_+) - \tr(P_-) =
         \tr(P_+ - P_-) = \tr(H) \]
      De même pour $K$ hermitien : $\tr(\Phi(K)) = \tr(K)$.
      Donc, encore par linéarité,
      \[ \tr(\Phi(A)) = \tr(\Phi(H + \iu K)) = \tr
         (\Phi(H)) + \iu \tr(\Phi(K)) = \tr(H) + \iu
         \tr(K) = \tr(H + \iu K) = \tr(A) \]
      }
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{proof}}}

Notons que l'on pourrait généraliser ce formalisme à des
transformations de {\textit{trace non-croissante}}, c'est-à-dire que
$\forall P \in \mathcal{L}^+_{\tr 1} (\mathcal{H}_1)$, $\tr(\Phi
(P)) \leqslant 1$, sans se limiter aux transformations conservant la trace.
C'est utile pour décrire les systèmes qui « fuient
» dans leur environnement, par exemple des photons
absorbés dans une fibre optique.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Systèmes couplés et algèbre tensorielle}

L'algèbre linéaire tensorielle est l'outil de choix pour décrire
les systèmes quantiques couplés, par exemple deux particules, une
particule et ses états internes, ou encore un système et son
environnement, en particulier un système et un instrument de mesure. On
verra par la suite qu'un canal quantique se comporte, par définition, de
la bonne façon lorsqu'il est couplé avec un autre canal quantique. On
présente donc assez rapidement les notions d'algèbre tensorielle qui
nous serviront.

\subsubsection{Produit tensoriel d'espaces vectoriels}

{ \setlength{\abovedisplayskip}{6pt}
  \setlength{\belowdisplayskip}{6pt}
Soient $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Il
existe un $\mathbb{K}$-{\textsc{ev}} $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}$ et une
application bilinéaire
\[ \begin{array}{rll}
     \cdummy \otimes \cdummy \  :
     \ \mathcal{V} \times W & \longrightarrow &
     \mathcal{V} \otimes \mathcal{W}\\
     v, w & \longmapsto & v \otimes w
   \end{array} \]
qui vérifient une {\textit{propriété universelle}} : toute
application bilinéaire $f : \mathcal{V} \times \mathcal{W} \rightarrow
\mathcal{Z}$ dans un $\mathbb{K}$-{\textsc{ev}} $\mathcal{Z}$ se factorise de
façon unique à travers $\varphi \assign \cdummy \otimes \cdummy$,
c'est à dire que $\exists ! \tilde{f} \in \mathcal{L} (\mathcal{V} \otimes
\mathcal{W}, \mathcal{Z}) \ \suchthat
\  f = \tilde{f} \circ \varphi$.

Autrement dit, pour tout $\mathbb{K}$-{\textsc{ev}} $\mathcal{Z}$, on a une
bijection
\[ \begin{array}{rll}
     \mathcal{L} (\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}, \mathcal{Z}) &
     \longleftrightarrow & \mathcal{L}_2 (\mathcal{V} \times \mathcal{W},
     \mathcal{Z})\\
     f & \longmapsto & ((v, w) \mapsto f (v \otimes w))
   \end{array} \]
De plus, cet espace $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}$ est unique à
isomorphisme de $\mathbb{K}$-{\textsc{ev}} près, ce qui est clair
grâce au fait que l'on demande une factorisation unique. On appelle
$\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}$ le {\textbf{produit tensoriel}} de
$\mathcal{V}$ et $\mathcal{W}$. On trouvera une construction générale
par quotient dans [\citeauthor[§1.1]{TensSage}] ou [\citeauthor[§1.1]{TensBertrand}].
On se restreint désormais à la dimension finie.}

Donnons quelques propriétés importantes pour clarifier cette définition abstraite\footnote{Si l'intuition fait défaut : \href{https://www.math3ma.com/blog/the-tensor-product-demystified}{\textit{The Tensor Product, Demystified}}} :\\[-0.5em]
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \setlength\itemsep{0.7em}

  \item $\forall v, v' \in \mathcal{V}, \forall w, w' \in \mathcal{W}$,
  \quad$(v + v') \otimes w = v \otimes w + v' \otimes w$\quad et\quad$v
  \otimes (w + w') = v \otimes w + v \otimes w'$
  
  \item $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall v \in \mathcal{V}, \forall w
  \in \mathcal{W}$, \quad$\lambda \cdot (v \otimes w) = (\lambda \cdot v)
  \otimes w = v \otimes (\lambda \cdot w)$.
  
  \item {\setlength{\abovedisplayskip}{2pt}
  Si $(\hat{v}_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ et $(\hat{w}_j)_{1
  \leqslant j \leqslant m}$ sont des bases de $\mathcal{V}$ et $\mathcal{W}$
  respectivement, alors [\citeauthor[§1.2.2]{TensSage}]
  \[ (\hat{v}_i \otimes \hat{w}_j)_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j
     \leqslant m} \quad \text{est une base de $\mathcal{V} \otimes
     \mathcal{W}$} \]}
  \item Ainsi, $\dim (\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}) = \dim (\mathcal{V})
  \times \dim (\mathcal{W})$ et $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}
  \ \cong \ 
  \mathbb{K}^{nm}$. Mais on peut faire plus utile :
  
  \item $\forall x \in \mathcal{V} \otimes \mathcal{W}, \quad \exists !
  (v_j)_{1 \leqslant j \leqslant m} \in \mathcal{V}^m \ \suchthat \  x = \sum_{j = 1}^m v_j
  \otimes \hat{w}_j$.\quad Ainsi, $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}
  \ \cong \ \bigoplus^m \mathcal{V} \ \cong \ \mathcal{V}^{\dim \mathcal{W}}$, et
  on écrira $\textstyle x \cong \begin{bsmallmatrix}
    v_1\\ \svdots\\ v_n
  \end{bsmallmatrix}$ par cet isomorphisme. À noter que $\mathcal{V}^{\dim
  \mathcal{W}}$ n'est évidemment pas un $\mathcal{V}$-espace vectoriel, et
  il faut voir ce vecteur comme un « vecteur par blocs
  » plus qu'un « vecteur de vecteurs
  », c'est pourquoi on préférera la notation
  $\bigoplus^m \mathcal{V}$, dans la continuité de l'idée de somme
  directe\footnote{La notation $\bigoplus^m V$ nécessiterai, si l'on
  voulait être tout à fait formel, de parler de l'espace dans lequel
  on fait la somme directe, alors que $V^m$ est naturellement muni de la
  structure produit par les opérations composantes par composantes. La
  première notation est plus naturelle ici, la seconde plus rigoureuse a
  priori.}. De même, $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W} \ \cong \ \bigoplus^n \mathcal{W} \ \cong \ \mathcal{W}^{\dim \mathcal{V}}$.
\end{itemize}

\ \\[-20pt]

Donnons une réalisation concrète du produit tensoriel d'espaces
hilbertiens $(\mathcal{V}, \langle \cdummy | \cdummy \rangle_{\mathcal{V}})$
et $(\mathcal{W}, \langle \cdummy | \cdummy \rangle_{\mathcal{W}})$ :\\
$\forall v \in \mathcal{V}, w \in \mathcal{W}$, on peut définir $v \otimes
w$ comme une forme bilinéaire $\mathcal{V} \times \mathcal{W} \rightarrow
\mathbb{C}$ telle que :
\[ \forall x \in \mathcal{V}, \ \forall y \in
   \mathcal{W}, \quad (v \otimes w) (x, y) \  =
   \ \langle v | x \rangle_{\mathcal{V}} \cdot
   \langle w | y \rangle_{\mathcal{W}} \]
En effet, cette construction vérifie la propriété universelle. On
obtient du même coup que
\begin{equation}
  \mathcal{V} \otimes \mathcal{W} \ \cong
  \ \mathcal{L}_2 (\mathcal{V} \times
  \mathcal{W}, \mathbb{C}) \ \cong
  \ \mathbb{M}_{n, m} (\mathbb{C})
  \ \cong \ 
  \mathbb{C}^{nm}
\end{equation}
Écrivons ce troisième isomorphisme :\quad$\forall v \in \mathcal{V}$,
$\forall w \in \mathcal{W}$, si l'on décompose dans les bases de
$\mathcal{V}$ et $\mathcal{W}$,
\[ v \ \cong \ 
   \begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}, w \ \cong
   \ \begin{bmatrix} w_1\\ \vdots\\w_n \end{bmatrix} \quad
   \text{et alors} \quad v \otimes w \ \cong \ 
   \begin{bmatrix}
     \bar{v_1}  \bar{w_1} & \cdots & \bar{v_1}  \bar{w_m}\\
     \vdots & \ddots & \vdots\\
     \bar{v_n}  \bar{w_1} & \cdots & \bar{v_n}  \bar{w_m}
   \end{bmatrix} \]
Enfin, on peut naturellement munir $\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}$ d'un
produit scalaire hermitien, déterminé par :
\begin{equation}
  \forall v_1, v_2 \in \mathcal{V}, \forall w_1, w_2 \in \mathcal{W}, \quad \big\langle
  v_1 \otimes w_1 | v_2 \otimes w_2 \big\rangle \ \assign
  \ \langle v_1 | v_2 \rangle_{\mathcal{V}}
  \cdot \langle w_1 | w_2 \rangle_{\mathcal{W}} \label{prodscal-tens}
\end{equation}

\subsubsection{Produit tensoriel d'applications linéaire et produit de Kronecker}

Soient $\varphi \in \mathcal{L} (\mathcal{X}, \mathcal{V})$ et $\psi \in
\mathcal{L} (\mathcal{Y}, \mathcal{W})$ des applications linéaires entre
espaces vectoriels. Alors on définit le {\textbf{produit tensoriel}}
$\varphi \barotimes \psi : \mathcal{X} \otimes \mathcal{Y}
\longrightarrow \mathcal{V} \otimes \mathcal{W}$ {\textbf{des applications
$\varphi$ et $\psi$}}, comme l'application linéaire déterminée par :
\[ \forall x \in \mathcal{X}, \forall y \in \mathcal{Y}, \quad (\varphi
   \barotimes \psi) (x \otimes y) \ \assign
   \ \varphi (x) \otimes \psi (y) \]

Afin de mieux comprendre ce qu'est le produit tensoriel d'applications,
cherchons d'abord à exprimer les endomorphismes $\mathcal{L} (\mathbb{K}^n
\otimes \mathcal{V})$ sous forme matricielle. Si l'on note l'isomorphisme $\Xi \ : \ \mathbb{K}^n
\otimes \mathcal{V} \ \cong \ \bigoplus^n \mathcal{V}$, et si l'on se donne une matrice
d'opérateurs $\Phi = \begin{bmatrix}
  \phi_{i, j}
\end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathbb{M}_n
(\mathcal{L} (\mathcal{V}))$ (que l'on peut voir comme une matrice de $n
\times n$ blocs), on peut construire un endomorphisme $\phi : \mathbb{K}^n
\otimes \mathcal{V} \longrightarrow \mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V}$ tel que
\[ \forall x \in \mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V}, \quad \Xi (\phi(x)) = \Phi\,
   \Xi (x) = \begin{bmatrix}
     \phi_{1, 1} & \cdots & \phi_{1, n}\\
     \vdots & \ddots & \vdots\\
     \phi_{n, 1} & \cdots & \phi_{n, n}
   \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}
     v_1\\ \vdots\\ v_n
   \end{bmatrix} \in \overset{n}{\bigoplus} \mathcal{V} \quad \text{si}
   \quad \begin{bmatrix}
     v_i
   \end{bmatrix}_{1 \leqslant i \leqslant n} = \Xi (x) \in
   \overset{n}{\bigoplus} \mathcal{V} \]
c'est à dire, plus explicitement,
si l'on note $\mathcal{E} \assign (\hat{e}_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ la base de $\mathbb{K}^n$,
\[ \phi(x) \  = \ 
   \Xi^{-1} (\Phi\, \Xi (x)) \  =
   \ \sum_{i = 1}^n \hat{e}_i \otimes \sum_{j =
   1}^n \phi_{i, j} (v_j) \]
Réciproquement, soit $\phi \in \mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes
\mathcal{V})$, posons $\tilde{\phi} =
 \Xi \circ \phi \circ \Xi^{-1}
\in \mathcal{L} \Big( \overset{n}{\bigoplus}
\mathcal{V} \Big)$. Alors si l'on pose $\forall i, j \in \llbracket 1, n
\rrbracket$
\begin{eqnarray*}
  \phi_{i, j} \in \mathcal{L} (\mathcal{V}) \quad \text{tel que} \quad \forall
  v \in \mathcal{V}, \quad \phi_{i, j} (v) & = & \pi_i \left( \tilde{\phi}
  \left( \begin{bmatrix}
    \mathbbm{1}_{k j} \cdot v
  \end{bmatrix}_{1 \leqslant j \leqslant n} \right)
  \right)\\
  & = & \pi_i \Big(\Xi \big(\phi(\hat{e}_j \otimes v)\big)\Big)
\end{eqnarray*}
avec $\pi_i$ la projection sur la le $i$-ème sous-espace de $\bigoplus^n
\mathcal{V}$, c'est-à-dire pour $j = 1$ par exemple,
\[ \phi_{i, 1} (v) = y_i \quad \text{lorsque} \quad \tilde{\phi}
    \begin{bsmallmatrix}
     v\\
     \svdots\\
     0
   \end{bsmallmatrix} = \begin{bsmallmatrix}
     y_1\\
     \svdots\\
     y_n
   \end{bsmallmatrix} \]
on retrouve la matrice d'opérateurs $\Phi = \begin{bmatrix}
  \phi_{i, j}
\end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in
\mathbb{M}_n (\mathcal{L} (\mathcal{V}))$ associée. Ainsi, on a un isomorphisme
\begin{equation}
  \mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V}) \ \cong \ \mathbb{M}_n (\mathcal{L}
  (\mathcal{V})) \label{iso-lintens-matop}
\end{equation}


Maintenant, si l'on se donne $\varphi \in \mathcal{L} (\mathbb{K}^n)$ et $\psi
\in \mathcal{L} (\mathcal{V})$, alors $\phi \assign \varphi \barotimes \psi
\in \mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V})$. On cherche à
expliciter la matrice d'opérateurs associée à $\varphi \barotimes \psi$. Posons
\[ A \ = \ \begin{bmatrix} a_{i j} \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \ \assign \ \mat_\mathcal{E} (\varphi) \]
Alors $\forall v \in \mathcal{V}$, $\forall j \in \llbracket 1, n \rrbracket$,
\[ (\varphi \barotimes \psi) (\hat{e}_j \otimes v) \ = \ \varphi (\hat{e}_j) \otimes
   \psi (v) \  = \ 
   \left( \sum_{k = 1}^n a_{k j}  \hat{e}_j \right) \otimes \psi (v)
   \  = \ \sum_{k =
   1}^n \hat{e}_j \otimes (a_{k j} \, \psi (v)) \]
\[ \text{donc}\quad\quad\Xi \big((\varphi \barotimes \psi) (\hat{e}_j \otimes v)\big)
   \  = \ 
   \begin{bmatrix}
     a_{k j} \, \psi (v)
   \end{bmatrix}_{1 \leqslant k \leqslant n} \]
\[ \text{donc } \forall i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket,\quad\quad \phi_{i j} (v) \  = \ \pi_i \Big(\Xi \big(\phi(\hat{e}_j \otimes v)\big)\Big) \ = \ \pi_i \left(
   \begin{bmatrix}
     a_{k j}\, \psi (v)
   \end{bmatrix}_{1 \leqslant k \leqslant n} \right)
   \  = \  a_{i j} \, \psi (v) \]
Ainsi, la matrice d'opérateurs associée par l'isomorphisme (\ref{iso-lintens-matop}) à $\varphi
\barotimes \psi$ est
\begin{equation}
  \begin{bmatrix}
    \phi_{i j}
  \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
  \  = \ 
  \begin{bmatrix}
    a_{i j} \, \psi
  \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
  \  = \ 
  \begin{bmatrix}
    a_{1 1}\,\psi & \cdots & a_{1 n}\,\psi\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    a_{n 1}\,\psi & \cdots & a_{n n}\,\psi
  \end{bmatrix} \ \in \mathbb{M}_n
  (\mathcal{L} (\mathcal{V})) \label{matop-tensappl}
\end{equation}
Par exemple pour $n = 2$ et $B = \mat(\psi) = \begin{bsmallmatrix}
  b_{1 1} & b_{1 2}\\
  b_{2 1} & b_{2 2}
\end{bsmallmatrix}$, on peut associer à $\varphi \barotimes \psi$ la matrice par blocs
\[ \begin{bmatrix}
     a_{1 1} & a_{1 2}\\
     a_{2 1} & a_{2 2}
   \end{bmatrix} \barotimes \begin{bmatrix}
     b_{1 1} & b_{1 2}\\
     b_{2 1} & b_{2 2}
   \end{bmatrix} \assign \begin{bmatrix}
     a_{1 1}  \begin{bmatrix}
       b_{1 1} & b_{1 2}\\
       b_{2 1} & b_{2 2}
     \end{bmatrix} & a_{1 2}  \begin{bmatrix}
       b_{1 1} & b_{1 2}\\
       b_{2 1} & b_{2 2}
     \end{bmatrix}\\
     a_{2 1}  \begin{bmatrix}
       b_{1 1} & b_{1 2}\\
       b_{2 1} & b_{2 2}
     \end{bmatrix} & a_{2 2}  \begin{bmatrix}
       b_{1 1} & b_{1 2}\\
       b_{2 1} & b_{2 2}
     \end{bmatrix}
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
     a_{1 1} b_{1 1} & a_{1 1} b_{1 2} & a_{1 2} b_{1 1} & a_{1 2} b_{1 2}\\
     a_{1 1} b_{2 1} & a_{1 1} b_{2 2} & a_{1 2} b_{2 1} & a_{1 2} b_{2 2}\\
     a_{2 1} b_{1 1} & a_{2 1} b_{1 2} & a_{2 2} b_{1 1} & a_{2 2} b_{1 2}\\
     a_{2 1} b_{2 1} & a_{2 1} b_{2 2} & a_{2 2} b_{2 1} & a_{2 2} b_{2 2}
   \end{bmatrix} \]
que l'on appelle le {\textbf{produit de Kronecker}} des deux matrices $A$ et
$B$, et que l'on note $A \barotimes B$. Dans toute la suite, on identifie
$\mathbb{M}_n (\mathbb{M}_m (\mathbb{C})) =\mathbb{M}_{(nm)} (\mathbb{C})$. On
remarque que l'on peut écrire, de façon unique,
\[ A \barotimes B \  = \ \hat{E}_{1 1} \barotimes C_{1 1} + \hat{E}_{1 2}
   \barotimes C_{1 2} + \hat{E}_{2 1} \barotimes C_{2 1} + \hat{E}_{2 2}
   \barotimes C_{2 2} \]
avec $(\hat{E}_{i j})_{1 \leqslant i, j \leqslant 2}$ base canonique de
$\mathbb{M}_2 (\mathbb{K})$, et $C_{i j} = a_{i j} B$.

On remarque alors que le résultat (\ref{matop-tensappl}) se reformule de
façon similaire : si on pose $(\hat{\varepsilon}_{i j})_{1 \leqslant i, j
\leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{L} (\mathbb{K}^n)$
(c'est-à-dire $\mat_{\mathcal{E}} (\hat{\varepsilon}_{i j}) = E_{i
j}$), on a :
\begin{equation}
  \phi \ = \ \varphi \barotimes \psi \ = \ \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
  \hat{\varepsilon}_{i j} \barotimes \phi_{i j} \quad \text{avec} \quad
  \begin{bmatrix} \phi_{i j} \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
  \overset{\text{ rappel }}{=} \mat_{\mathcal{E}} (\varphi) \cdot \psi
\end{equation}
c'est à dire que $\mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V})
\ \cong \ 
\bigoplus^{n \times n} \mathcal{L} (\mathcal{V}) \ \cong \ \mathbb{M}_n (\mathcal{L}
(\mathcal{V}))$. Alors grâce à l'isomorphisme $\bigoplus^{n \times n}
\mathcal{L} (\mathcal{V}) \ \cong
\ \mathcal{L} (\mathbb{K}^n) \otimes \mathcal{L}
(\mathcal{V})$, on peut finalement écrire :
\[ \phi \ \cong 
   \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \hat{\varepsilon}_{i j} \otimes \phi_{i
   j} \ \in \mathcal{L} (\mathbb{K}^n) \otimes
   \mathcal{L} (\mathcal{V}) \]
Et puisque $(\hat{\varepsilon}_{i j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ est une
base, ces objets engendrent $\mathcal{L} (\mathbb{K}^n) \otimes \mathcal{L}
(\mathcal{V})$ et on a un isomorphisme
\begin{equation}
  \begin{array}{rlcll}
    \mathcal{L} (\mathbb{K}^n) \otimes \mathcal{L} (\mathcal{V}) &
    \overset{\cong}{\longleftrightarrow} & \mathbb{M}_n \big(\mathcal{L}
    (\mathcal{V})\big) & \overset{\cong}{\longleftrightarrow} & \mathcal{L}
    (\mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V})\\[+6pt]
    \displaystyle\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \hat{\varepsilon}_{i j} \otimes
    \phi_{i j} & \longmapsto & \begin{bmatrix}
      \phi_{i j}
    \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} &
    \longmapsto & \displaystyle\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \hat{\varepsilon}_{i j}
    \barotimes \phi_{i j}
  \end{array} \label{iso-tens-tensappl}
\end{equation}
Noter la subtile différence : à droite, on a un produit tensoriel
d'applications ($\barotimes$), ce qui donne une {\textit{application}} dans
$\mathbb{K}^n \otimes \mathcal{V}$, alors qu'à gauche, on voit cette
application comme un {\textit{vecteur}} de l'espace tensoriel $\mathcal{L}
(\mathbb{K}^n) \otimes \mathcal{L} (\mathcal{V})$, décomposé
tensoriellement ($\otimes$) dans la base $(\hat{\varepsilon}_{i j})_{1
\leqslant i, j \leqslant n}$ de $\mathcal{L} (\mathbb{K}^n)$.

{\setlength{\abovedisplayskip}{6pt}\setlength{\belowdisplayskip}{6pt}
En particulier, $\forall \phi \in \mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes
\mathcal{V})$,
\begin{equation}
  \exists ! \begin{bmatrix}
    \phi_{i j}
  \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in
  \mathbb{M}_n \big(\mathcal{L} (\mathcal{V})\big) \ 
  \suchthat \ \phi \  = \sum_{1 \leqslant i, j
  \leqslant n} \hat{\varepsilon}_{i j} \barotimes \phi_{i j}
\end{equation}
De façon similaire, sous forme purement matricielle (c'est-à-dire
pour le produit de Kronecker),
\begin{equation}
  \mathbb{M}_n (\mathbb{K}) \otimes \mathbb{M}_m (\mathbb{K})
  \ \cong \ 
  \mathbb{M}_{n \cdot m} (\mathbb{K}) \ \cong
  \ \mathcal{L} (\mathbb{K}^n \otimes
  \mathbb{K}^m) \ \hookleftarrow
  \ \mathbb{M}_n (\mathbb{K}) \barotimes
  \mathbb{M}_m (\mathbb{K})
\end{equation}
Cet isomorphisme nous permet, dans la suite, de noter $\otimes$ à la place
de $\barotimes$. Il se généralise bien sûr en
\[ \mathcal{L} (\mathcal{V}) \otimes \mathcal{L} (\mathcal{W})
   \ \cong \ \mathcal{L} (\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}) \]
qu'on appelle le \textbf{morphisme de Kronecker}. }

Donnons enfin une caractérisation de la positivité pour les
opérateurs hermitiens de $\mathcal{V} \otimes \mathbb{C}^n$.

Soit $\phi \in \mathcal{L} (\mathcal{V} \otimes \mathbb{C}^n)$ et $x \in \mathcal{V} \otimes \mathbb{C}^n$, que l'on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^n v_i \otimes \hat{e}_i$ avec $\begin{bmatrix} v_i \end{bmatrix}_{1 \leqslant i \leqslant n} = \Xi (x)$. Alors%
{\small{\begin{eqnarray*}
  \big\langle x, \phi(x) \big\rangle & = & \left\langle x, \ \bigg(
  \sum_{k, l} \phi_{k l} \barotimes \hat{\varepsilon}_{k l} \bigg) \bigg(
  \sum_i v_i \otimes \hat{e}_i \bigg) \right\rangle\\
  \text{[ linéarité de $\phi$ ]} \quad & = & \left\langle x,
  \ \sum_i \bigg( \sum_{k, l} \phi_{k l}
  \barotimes \hat{\varepsilon}_{k l} \bigg) (v_i \otimes \hat{e}_i)
  \right\rangle\\
  \text{[ définition du produit $\barotimes$ ]} \quad & = &
  \left\langle x, \ \sum_i \sum_{k, l} \phi_{k
  l} (v_i) \otimes \hat{\varepsilon}_{k l} (\hat{e}_i) \right\rangle\\
  \text{[ $\hat{\varepsilon}_{k l} (\hat{e}_i) = \mathbbm{1}_{k i}  \hat{e}_l$ ]} \quad
  & = & \left\langle \sum_j v_j \otimes \hat{e}_j, \ \sum_i \sum_l \phi_{i l} (v_i) \otimes \hat{e}_l \right\rangle\\
  \text{[ linéarité de $\langle \cdummy, \cdummy \rangle$ ]} \quad & =
  & \sum_{i, j, l} \big\langle v_j \otimes \hat{e}_j, \ \phi_{i l} (v_i) \otimes \hat{e}_l \big\rangle\\
  \text{[ définition (\ref{prodscal-tens}) de $\langle \cdummy, \cdummy
  \rangle_{\mathcal{V} \otimes \mathbb{C}^n}$ ]} \quad & = & \sum_{i, j, l} \big\langle
  v_j, \phi_{i l} (v_i) \big\rangle \cdot \langle \hat{e}_j, \hat{e}_l \rangle\\
  \text{[ $\langle \hat{e}_j, \hat{e}_l \rangle = \mathbbm{1}_{j l}$ ]} \quad & = &
  \sum_{i, j} \big\langle v_j, \phi_{i j} (v_i) \big\rangle
\end{eqnarray*}}}%
En parallèle, lorsqu'on considère la matrice associée à l'opérateur, on retrouve
\begin{eqnarray*}
  \left\langle  \begin{bsmallmatrix}
    \vphantom{\phi} v_1\\ \svdots\\ v_n
  \end{bsmallmatrix}, \begin{bsmallmatrix}
    \phi_{1, 1} & \cdots & \phi_{1, n}\\
    \svdots & \sddots & \svdots\\
    \phi_{n, 1} & \cdots & \phi_{n, n}
  \end{bsmallmatrix}  \begin{bsmallmatrix}
    \vphantom{\phi} v_1\\ \svdots\\ v_n
  \end{bsmallmatrix} \right\rangle = \left\langle  \begin{bsmallmatrix}
    \vphantom{\phi} v_1\\ \svdots\\ v_n
  \end{bsmallmatrix}, \begin{bsmallmatrix}
    \sum_j \phi_{1, j} (v_j)\\
    \svdots\\
    \sum_j \phi_{n, j} (v_j)
  \end{bsmallmatrix} \right\rangle & = & \sum_j \left\langle 
  \begin{bsmallmatrix}
    \vphantom{\phi} v_1\\ \svdots\\ v_n
  \end{bsmallmatrix}, \begin{bsmallmatrix}
    \phi_{1, j} (v_j)\\ \svdots\\ \phi_{n, j} (v_j)
  \end{bsmallmatrix} \right\rangle\\
  & = & \sum_{i, j} \big\langle v_j, \phi_{i j} (v_i) \big\rangle \ 
  = \ \langle x, \phi(x) \rangle
\end{eqnarray*}
Ainsi, pour vérifier la positivité d'un opérateur sur $\mathcal{V}
\otimes \mathbb{C}^n$, il suffit de la vérifier sur la matrice associée :\\

\begin{proposition}
  \label{posit-tens-mat}Soit $\phi \in \mathcal{L} (\mathcal{V} \otimes
  \mathbb{C}^n)$. Si l'on considère la décomposition de $\phi$ dans
  $(\hat{\varepsilon}_{i j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$, on a
  \begin{eqnarray*}
    \phi \ = \ \sum_{i, j} \phi_{i j} \barotimes \hat{\varepsilon}_{i j}
    \ \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{V} \otimes
    \mathbb{C}^n) \text{ positif} & \Longleftrightarrow & \forall
    (v_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathcal{V}^n, \quad
    \sum_{i, j} \big\langle v_j, \phi_{i j} (v_i) \big\rangle \, \geqslant \, 0\\
    & \Longleftrightarrow & \begin{bmatrix}
      \phi_{i j}
    \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \text{
    positive}
  \end{eqnarray*}
\end{proposition}

\subsubsection{Couplage de système quantiques}

On utilise maintenant le produit tensoriel pour décrire l'espace des
états d'un couplage de systèmes quantiques, et le produit tensoriel
d'applications pour décrire l'évolution de ce système couplé :\\

\begin{axiom}
  Considérons deux systèmes représentés par les espaces des
  états $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$. Alors lorsque les deux
  systèmes sont couplés, l'espace des états du système total
  est le produit tensoriel $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$.
\end{axiom}

Deux systèmes sont couplés par exemple pendant ou après une
interaction. Si le système 1 se trouve (par exemple avant une interaction)
dans l'état pur $\psi_1 \in \mathcal{H}_1$ et le système 2 dans
l'état pur $\psi_2 \in \mathcal{H}_2$, alors le système total est dans
l'état $\psi_1 \otimes \psi_2$ : on dit que l'état du système
total est {\textit{factorisé}}. Mais, bien évidemment, les états du
système couplé ne sont pas, en général, factorisés sous
forme $\psi_1 \otimes \psi_2$ avec $\psi_1 \in \mathcal{H}_1$ et $\psi_2 \in
\mathcal{H}_2$. On est alors en présence d'un état dit
{\textbf{intriqué}}. Même très longtemps (et très loin)
après une interaction interaction, le système total peut rester
intriqué.

En théorique quantique de l'information, cette notion est utilisée
pour décrire le couplage d'un système avec son environnement
(décohérence d'un qubit, interaction atome-champ\textellipsis), avec un
appareil de mesure (théorie de la mesure quantique), ou avec un autre
système identique avec lequel il est intriqué (statistiques de Bell,
téléportation quantique, cryptographie quantique\textellipsis).

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[height=14em]{particulesspin.pdf}}
  \caption{En physique, cette notion de couplage est par exemple utilisée
  pour décrire une particule, $\mathcal{H}_{\text{esp}} = \mathrm{L}^2
  (\mathbb{R}^d)$, possédant un {\textit{degré de liberté interne}},
  par exemple un spin $1/2$, $\mathcal{H}_{\text{spin}} =
  \operatorname{Vect}(|\!\uparrow \rangle, | \!\downarrow \rangle) \cong \mathbb{C}^2$
  (notation de Dirac), comme le produit tensoriel $\mathcal{H}=\mathcal{H}_{\text{esp}}
  \otimes \mathcal{H}_{\text{spin}}$. Un état peut alors s'écrire
  $| \Psi \rangle = | \Psi_{\uparrow} \rangle \otimes | \!\uparrow \rangle
  + | \Psi_{\downarrow} \rangle \otimes | \!\downarrow \rangle$ (par
  l'isomorphisme $\mathcal{H}_{\text{esp}} \otimes \mathcal{H}_{\text{spin}} \cong
  \mathrm{L}^2 \oplus \mathrm{L}^2$), et l'on dit que $| \Psi_{\uparrow}
  \rangle \in \mathcal{H}_{\text{esp}}$ est la composante de spin up de la
  fonction d'onde, et $| \Psi_{\downarrow} \rangle \in
  \mathcal{H}_{\text{esp}}$ celle de spin down. Elles vérifient $\int (|
  \Psi_{\uparrow} |^2 + | \Psi_{\downarrow} |^2) = 1$.}
\end{figure}

\begin{axiom}\label{axiom_evol_coupl}
  Considérons une évolution du système quantique 1,
  représentée par l'opérateur d'évolution
  \[ \Phi_1 \ : \ \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow \mathcal{L} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 1} \right) \]
  et, une évolution du système quantique 2, représentée par
  l'opérateur d'évolution
  \[ \Phi_2 \ : \ \mathcal{L} (\mathcal{H}_2) \longrightarrow \mathcal{L} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2} \right) \]
  (on les considère ici indépendamment l'une de l'autre, par exemple
  deux systèmes isolés). Alors, lorsque l'on regarde le système
  total $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$, l'évolution combinée du
  système total est représentée par
  \[ \Phi_1 \otimes \Phi_2 \ : \ \mathcal{L} (\mathcal{H}_1 \otimes
     \mathcal{H}_2) \longrightarrow \mathcal{L} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 1} \otimes \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2} \right)
  \]
\end{axiom}

Bien sûr, lorsque l'évolution d'un système dépend de
l'état de l'autre, on ne peut pas parler de l'évolution d'un
système ou de l'autre (c'est-à-dire de $\Phi_1$ ou $\Phi_2$).
L'évolution est alors plus complexe, mais reste souvent exprimée
grâce à des produits tensoriels d'applications\footnote{
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{0pt}
Dans le cas simple où les deux systèmes sont indépendants et ont une
évolution hamiltonienne, on peut chercher à donner l'hamiltonien du
système total : si l'on a $\iu \hbar \partial_t U_{1, t} = H_1 (t)
U_{1, t}$ et $\iu \hbar \partial_t U_{2, t} = H_2 (t) U_{2, t}$, alors en
admettant la formule de Leibniz pour le produit tensoriel (se voit
aisément avec la produit de Kronecker), on a
\begin{eqnarray*}
  HU_t \ \overset{\text{Schrö.}}{=}
  \ \iu \hbar \partial_t U_t &
  \overset{\text{axiome}}{=} & \iu \hbar \partial_t  (U_{1, t} \otimes
  U_{2, t}) \ \overset{\text{Leibniz}}{=}
  \ \iu \hbar (\partial_t U_{1, t} \otimes
  U_{2, t}) + \iu \hbar (U_{1, t} \otimes \partial_t U_{2, t})\\
  & \smash{\overset{\text{Schrö.}}{=}} & H_1 U_{1, t} \otimes U_{2, t} + U_{1, t}
  \otimes H_2 U_{2, t} \ \smash{\overset{\text{def}}{=}}
  \ (H_1 \otimes \mathbbm{1}_2) (U_{1, t} \otimes U_{2,
  t}) + (\mathbbm{1}_1 \otimes H_2) (U_{1, t} \otimes U_{2, t})
\end{eqnarray*}
donc $H(t) \ = \ H_1(t) \otimes \mathbbm{1}_2 + \mathbbm{1}_1 \otimes H_2(t)$.}.

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[height=14em]{evol-particulesspin.pdf}}
  \caption{Illustration de l'évolution de l'exemple précédent de
  la particule avec spin, comme couplage de l'évolution qu'aurait une
  particule simple se « déplaçant »
  d'une part, et de l'évolution qu'aurait un spin $1/2$ abstrait d'autre
  part. Pour obtenir une telle évolution, il faut que l'évolution de
  la fonction d'onde soit indépendante du spin, et que l'évolution du
  spin soit indépendant de la « position »
  de la particule (c'est le cas quand le champ magnétique est homogène par exemple).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \makebox[\textwidth][c]{\includegraphics[width=0.93\paperwidth]{photons_intriq.pdf}}
  \caption{Illustration du couplage de deux photons
  ($\mathcal{H}=\mathcal{H}_{\text{photon}}$) et de leur évolution. à
  gauche, situation des deux laboratoires manipulant un photon avec
  $\Phi_{\text{A}}$ et $\Phi_{\text{B}}$. à droite, exemple où il est
  nécessaire de voir les deux laboratoires de façon combinée : on
  prépare deux photons intriqués (état $P$ non factorisé) et
  on envoie chaque « photon » vers Alice et
  Bob. Chacun effectue une opération sur son photon, indépendamment de
  l'autre laboratoire, mais si l'on veut par exemple expliquer les
  éventuelles corrélations entre les mesures d'Alice et de Bob, il
  faut considérer $\left( \Phi_{\text{A}} \otimes \Phi_{\text{B}} \right)
  (P)$.}
\end{figure}

\section{Canaux quantiques, complète positivité et théorème de
Choi-Kraus}

La question naturelle qui se pose maintenant est la suivante : $\Phi_1 \otimes
\Phi_2$ est-il un opérateur d'évolution ? Dit autrement, les
mélanges d'états de $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ sont-ils
encore envoyés sur des opérateurs statistiques de
$\mathcal{H}_{\mathsf{o}, 1} \otimes \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2}$ ?

La réponse est négative en général : comme on le verra dans le
contre-exemple \ref{not-2pos}, on peut construire une transformation
positive $\Phi$ telle que $\Phi \otimes \identity_{\mathcal{L}
(\mathbb{C}^2)}$ ne préserve pas la positivité.

Ainsi, si l'on veut que les opérateurs statistiques soient les
descriptions les plus générales d'un système quantique lorsque
l'on considère les systèmes couplés, il est nécessaire
d'imposer une condition aux opérateurs d'évolution dans le postulat
\ref{postulat-op-évol}. On appelle de telles transformations des
{\textit{canaux quantiques}}.

\subsection{Canaux quantiques}

\begin{axiom}
  Les canaux quantiques sont des opérateurs d'évolution
  (c'est-à-dire des transformations linéaires envoyant les
  opérateurs statistiques sur des opérateurs statistiques) telles que
  le couplage (c'est-à-dire le produit tensoriel) de deux canaux
  quantiques est encore un opérateur d'évolution. On impose à
  l'identité d'être un canal quantique.
\end{axiom}

En l'état, cet définition n'est pas bien définie
mathématiquement, et c'est justement le but de ce document que de donner
une définition « équivalente »
précise de ce qu'est un canal quantique. On rappelle qu'il est
équivalent de demander aux opérateurs d'évolution d'être des
transformations positives et préservant la trace, par le théorème \ref{thm-opevol-pos-tr}.

Les canaux quantiques modélisent bien évidemment les canaux de
communication quantique, mais c'est une notion bien plus générale : un
\textit{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum\_instrument}{instrument quantique}}
est par exemple décrit comme un cas particulier de « canal » quantique, dont
l'espace des résultats $\mathcal{H}_{\mathsf{o}} =\mathcal{H}_2 \otimes
\mathbb{C}^{\text{Issues}}_{}$ est formé de l'espace où vit l'état
après mesure ainsi que de l'espace décrivant l'état de
l'instrument, classique, après la mesure.

\subsection{Complète positivité}

Pour introduire la notion d'application complètement positive,
considérons deux canaux :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item le premier quelconque, avec $\Phi = \Phi_1 : \mathcal{L} (\mathcal{H})
  \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H})_{}$ transformation positive
  préservant la trace
  
  \item le deuxième trivial, avec $\Phi_2 = \identity_{\mathcal{L}
  (\mathbb{C}^n)} \backassign \identity_n$ (c'est à dire n'agissant pas
  sur le système quantique)
\end{itemize}

avec $n \in \mathbb{N}^*$. Alors l'axiome des canaux quantiques impose à
\[ \Phi_1 \otimes \Phi_2 \  = \ \Phi \otimes \identity_n \ : \ \mathcal{L} (\mathcal{H} \otimes \mathbb{C}^n) \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H} \otimes \mathbb{C}^n) \]
d'être une transformation positive et préservant la trace. Et ceci pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

\begin{definition}
  Une transformation linéaire $\Phi : \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow
  \mathcal{L} (\mathcal{H}_2)$ est dite {\textbf{$n$-positive}} si
  $ \Phi \otimes \identity_n$ est positive.
  Cette transformation est dite \textbf{complètement positive} si $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \Phi$ est $n$-positive.
\end{definition}

Une transformation est positive si et seulement si elle est $1$-positive.
L'exemple précédent impose à tout canal quantique d'être
complètement positif.

Donnons tout d'abord une caractérisation matricielle, plus pratique, de la
$n$-positivité. Soit un opérateur $\bm{A} \in \mathcal{L}
(\mathcal{H}_1 \otimes \mathbb{C}^n)$. Par l'isomorphisme $\mathcal{L}
(\mathcal{H}_1 \otimes \mathbb{C}^n) \cong \mathcal{L}(\mathcal{H}_1) \otimes \mathcal{L}(\mathbb{C}^n)
\cong \mathbb{M}_n (\mathcal{L} (\mathcal{H}_1))$ (\ref{iso-tens-tensappl})
avec la base canonique $(E_{i j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$
de $\mathcal{L}(\mathbb{C}^n)$, on écrit $\bm{A} = \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} A_{i j}
\otimes E_{i j} \cong \begin{bmatrix} A_{i j} \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ puis
\[ \big(\Phi \otimes \identity_n\big) (\bm{A}) \  =
   \ \big(\Phi \otimes \identity_n\big) \bigg( \sum_{i,
   j} A_{i j} \otimes E_{i j} \bigg) \  =
   \ \sum_{i, j} (\Phi \otimes \identity_n)
   (A_{i j} \otimes E_{i j}) \  =
   \ \smash{\sum_{i, j} \Phi(A_{i j}) \otimes
   \overbrace{\identity_n (E_{i j})}^{= \ E_{i j}}} \]
par définition du produit tensoriel d'applications. De nouveau à
travers l'isomorphisme $\mathcal{L} (\mathcal{H}_2 \otimes \mathbb{C}^n)
\cong \mathbb{M}_n (\mathcal{L} (\mathcal{H}_2))$, on identifie $(\Phi \otimes
\identity_n) (\bm{A})$ à la matrice d'opérateurs
$\begin{bmatrix} \Phi(A_{i j}) \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$,
donc $\Phi \otimes \identity_n$ à
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
     \bm{\Phi}^{[n]} \ : \ \mathbb{M}_n \big(\mathcal{L}
     (\mathcal{H}_1)\big) & \longrightarrow & \mathbb{M}_n \big(\mathcal{L}
     (\mathcal{H}_2)\big)\\[+4pt]
     \begin{bmatrix} A_{i j} \end{bmatrix}_{i, j} & \longmapsto & \begin{bmatrix}
       \Phi(A_{i j})
     \end{bmatrix}_{i, j}
\end{array}
\end{equation}
Maintenant, en appliquant la proposition \ref{posit-tens-mat} deux fois, pour
$\mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1 \otimes \mathbb{C}^n)$ et $\mathcal{L}^+
(\mathcal{H}_2 \otimes \mathbb{C}^n)$,
\begin{eqnarray*}
  \Phi \otimes \identity_n \text{ transformation positive} &
  \Longleftrightarrow & \forall \bm{A} \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_1
  \otimes \mathbb{C}^n), \ \big(\Phi \otimes
  \identity_n\big) (\bm{A}) \in \mathcal{L}^+ (\mathcal{H}_2 \otimes
  \mathbb{C}^n)\\
  \text{\small[ prop. \ref{posit-tens-mat} ]} \quad & \Longleftrightarrow &
  \forall \begin{bmatrix}
    A_{i j}
  \end{bmatrix}_{i, j} \text{ positive}, \ 
  \begin{bmatrix}
    \Phi(A_{i j})
  \end{bmatrix}_{i, j} \text{ positive}\\
  & \Longleftrightarrow & \bm{\Phi}^{[n]} \text{ transformation
  positive}
\end{eqnarray*}
c'est à dire si l'application associée $\bm{\Phi}^{[n]}$ envoie
les matrices positives sur des matrices positives. Ainsi,\\

\begin{proposition}
  Soit $\Phi : \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H}_2)$ une
  transformation linéaire.\label{caract-CP-mat}
  \[ \Phi \text{ est complètement positive} \quad \Longleftrightarrow
     \quad \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \bm{\Phi}^{[n]} \text{
     est positive} \]
\end{proposition}

On peut maintenant exhiber un contre exemple de complète positivité :\\

\begin{example}
  Considérons l'application de transposition :\label{not-2pos}
  \[ \begin{array}{rll}
       \Phi \ : \  \mathbb{M}_n (\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathbb{M}_n (\mathbb{C})\\
       A & \longmapsto & {}^{\mathsf{T}\!} A
     \end{array} \]
  C'est une transformation positive : $\forall A \in \mathbb{M}_n^+
  (\mathbb{C})$ positive, $\exists W \in \mathbb{M}_n (\mathbb{C})
  \suchthat A = W^2$, donc $\Phi(A) = {}^{\mathsf{T}\!} A = {}^{\mathsf{T}\!} (W^2) = \left(
  {}^{\mathsf{T}\!} W \right)^2 \in \mathbb{M}_n^+ (\mathbb{C})$ est encore
  positive.
  
  Par contre, elle {\textit{n'est pas $2$-positive}} car $\bm{\Phi}^{[2]}$
  elle ne conserve pas la positivité :

  \begin{itemize}[label=$\bullet$]
    \item $E = \begin{bmatrix}
      E_{1 1} & E_{1 2}\\
      E_{2 1} & E_{2 2}
    \end{bmatrix}$ est une matrice positive (avec $(E_{i j})_{1 \leqslant
    i, j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathbb{M}_n (\mathbb{C})$),\\ car
    dans la base canonique $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de
    $\mathbb{C}^n$, on a $\forall X = \begin{bmatrix}x_i\end{bmatrix}_{i}, Y = \begin{bmatrix}y_i\end{bmatrix}_{i}$,
    \begin{eqnarray*}
      \left\langle  \begin{bmatrix}
        X\\ Y
      \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
        E_{1 1} & E_{1 2}\\
        E_{2 1} & E_{2 2}
      \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}
        X\\ Y
      \end{bmatrix} \right\rangle & = & \langle X, E_{1 1} X \rangle +
      \langle X, E_{1 2} Y \rangle + \langle Y, E_{2 1} X \rangle + \langle Y,
      E_{2 2} Y \rangle\\
      & = & \bar{x_1} x_1 + \bar{x_1} y_2 + \bar{y_2} x_1 +
      \bar{y_2} y_2 \  =
      \  | x_1 + y_2 |^2 \ \geqslant \  0
    \end{eqnarray*}
    \item Mais $\bm{\Phi}^{[2]} (E) = \begin{bmatrix}
      {}^{\mathsf{T}\!} E_{1 1} & {}^{\mathsf{T}\!} E_{1 2}\\
      {}^{\mathsf{T}\!} E_{2 1} & {}^{\mathsf{T}\!} E_{2 2}
    \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
      E_{1 1} & E_{2 1}\\
      E_{1 2} & E_{2 2}
    \end{bmatrix}$ n'est pas une matrice positive car $-1$ est une
    valeur propre négative : puisque car $E_{i j}\,e_k = \mathbbm{1}_{k j}\,e_i$, on a
    $\begin{bmatrix}
      E_{1 1} & E_{2 1}\\
      E_{1 2} & E_{2 2}
    \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}
      e_2\\
      - e_1
    \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
      0 - e_2\\
      e_1 + 0
    \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}
      e_2\\
      - e_1
    \end{bmatrix}$.
  \end{itemize}
\end{example}

\subsection{Représentation de Choi-Kraus}

En guise d'échauffement, commençons par un résultat simple :\\

\begin{proposition} \label{sys-mes-cp} \setlength{\abovedisplayskip}{0pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
  L'évolution (\ref{opevol_Ppost}) \[ \Phi_\mathsf{m} \ : \ A \longmapsto \sum_{k = 1}^m M_k\,A\,M_k^* \]
  associée au système de mesure $\left( M_k : \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \longrightarrow
  \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant m}$ est une transformation complètement positive.
\end{proposition}

\begin{proof}
  Montrons-le en deux étapes :
  \begin{enumerate}[label=\arabic*.]
    \item { \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
    D'abord, si $M \in \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}},
    \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)$, la transformation $\Phi_M : A
    \longmapsto MAM^*$ est complètement positive par la proposition
    (\ref{caract-CP-mat}) puisque $\forall n \in \mathbb{N}^*$,
    \[ \bm{\Phi}^{[n]}_M \  :
       \ \begin{bmatrix}
         A_{i j}
       \end{bmatrix}_{i, j} \ \longmapsto
       \ \begin{bmatrix}
         \Phi(A_{i j})
       \end{bmatrix}_{i, j} \  =
       \ \begin{bmatrix}
         MA_{i j} M^*
       \end{bmatrix}_{i, j} \]
    est une transformation positive : \ $\forall \bm{A}=
    \begin{bmatrix}
      A_{i j}
    \end{bmatrix}_{i, j} \in \mathbb{M}_n \left( \mathcal{L} \left(
    \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right) \right)$ positive,
    $\bm{\Phi}^{[n]}_M (\bm{A})$ est positive car
    \begin{eqnarray*}
      \forall \bm{\chi}= (\chi_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in
      \mathcal{H}_{\mathsf{o}}^n, \quad \left\langle \bm{\chi}
      \ \middle| \ 
      \bm{\Phi}^{[n]}_M (\bm{A}) \cdot \bm{\chi}
      \right\rangle & = & \left\langle  \begin{bsmallmatrix}
        \vphantom{M} \chi_1\\
        \svdots\\
        \chi_n
      \end{bsmallmatrix}, \begin{bsmallmatrix}
        MA_{1 1} M^* & \cdots & MA_{1 n} M^*\\
        \svdots & \sddots & \svdots\\
        MA_{n 1} M^* & \cdots & MA_{n n} M^*
      \end{bsmallmatrix}  \begin{bsmallmatrix}
        \vphantom{M} \chi_1\\
        \svdots\\
        \chi_n
      \end{bsmallmatrix} \right\rangle\\
      \text{\small[ car $\langle \chi | MAM^* \chi \rangle = \big\langle (M^*
      \chi) | A (M^* \chi) \big\rangle$ ]} \quad & = & \left\langle 
      \begin{bsmallmatrix}
        M^* \chi_1\\
        \svdots\\
        M^* \chi_n
      \end{bsmallmatrix}, \begin{bsmallmatrix}
        A_{1 1} & \cdots & A_{1 n}\\
        \svdots & \sddots & \svdots\\
        A_{n 1} & \cdots & A_{n n}
      \end{bsmallmatrix}  \begin{bsmallmatrix}
        M^* \chi_1\\
        \svdots\\
        M^* \chi_n
      \end{bsmallmatrix} \right\rangle\\
      \text{\small[ positivité de $\bm{A}$ ]} \quad & = &
      \left\langle \bm{\chi}' \ \middle|
      \ \bm{A} \cdot \bm{\chi}'
      \right\rangle \ \geqslant
      \  0
    \end{eqnarray*}}
    \item Maintenant, la transformation $\Phi_\mathsf{m}$ est complètement
    positive car $\forall n \in \mathbb{N}^*$,
    \[ \Phi_\mathsf{m} \otimes \identity_n \  =
       \ \sum_{k = 1}^m \underbrace{\big(A \mapsto
       M_k AM_k^*\big) \otimes \identity_n}_{\text{transformation positive}}
       \ \text{est une transformation positive}
    \]
    simplement comme somme de transformation positive (par le premier point).
    En effet, si on l'évalue en une matrice positive $\bm{A} \in
    \mathbb{M}_n \left( \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right)
    \right)$, on obtient une somme de matrices positives, donc encore une
    matrice positive (par linéarité du produit scalaire).
  \end{enumerate}
\end{proof}

Voici enfin le théorème central de cette discussion :\\

\begin{theorem}[\cite{Choi1975}]
  Soit $\Phi : \mathbb{M}_n (\mathbb{C}) \longrightarrow \mathbb{M}_m (\mathbb{C})$ une transformation linéaire.\\
  On a équivalence entre les propositions suivantes :
  \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item $\Phi$ est complètement positive
    
    \item $\Phi$ est $n$-positive
    
    \item La {\textbf{matrice de Choi} } $\bm{C}_{\Phi} \assign
    \begin{bmatrix} \Phi(E_{i j}) \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
    = \bm{\Phi}^{[n]} \big( \begin{bmatrix} E_{i j} \end{bmatrix}_{i, j} \big) \in \mathbb{M}_{(nm)}
    (\mathbb{C})$ est positive
    
    \item $\exists r \in \mathbb{N}, \ \exists
    (W_k)_{1 \leqslant k \leqslant r} \in \mathbb{M}_{m, n} (\mathbb{C})^r
    \ \suchthat\ \smash{\Phi = A \longmapsto \sum_{k = 1}^r W_k AW_k^*}$.\\
    On appelle de tels $(W_k)_{1 \leqslant k \leqslant r}$ des \textbf{opérateurs de Kraus}.
  \end{enumerate}
  Si on appelle le {\textbf{rang de Choi}}, noté $\crk(\Phi)$, le nombre $r$ minimal d'opérateurs de Kraus permettant une telle
  décomposition, on a alors $\crk(\Phi) = \rg(C_{\Phi})$.
\end{theorem}

\textbf{Remarque}. On préfère ici le formalisme matriciel pour faciliter la démonstration, mais le résultat est évidemment toujours vrai avec
$\Phi : \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H}_2)$ et avec les $W_k \in \mathcal{L} (\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2)$.

\begin{proof}
  On abrège ici $\mathbb{M}_{p, q} (\mathbb{C})$ par $\mathbb{M}_{p, q}$.
  
  \setlength{\leftskip}{20pt}\setlength{\parindent}{-20pt}%
  (a $\Rightarrow$ b) :\quad Par définition, une transformation
  complètement positive est en particulier $n$-positive.

  \pagebreak

  (b $\Rightarrow$ c) :\quad
    On rappelle que les matrices $E_{i j} = \begin{bmatrix}
      \mathbbm{1}_{k i}  \mathbbm{1}_{l j}
    \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$
    vérifient $E_{i j}^* = E_{j i}$ et $E_{i j} E_{k l} = \mathbbm{1}_{j k} E_{i l}$.\\[+5pt]
	Posons le produit tensoriel (que l'on peut aussi voir comme une somme de produits de Kronecker)
    \[ E \ \assign \ \begin{bmatrix}
         E_{i j}
       \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
       \ \cong \ 
       \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} E_{i j} \otimes E_{i j} \]
    (par $\mathbb{M}_n \otimes \mathbb{M}_n 
    \cong \mathbb{M}_{n^2}$). On vérifie que, par transposition et produit par blocs,
    \[ E^* \  = \ \begin{bmatrix}
         E_{i j}
       \end{bmatrix}_{i, j}^* \ = \ \begin{bmatrix}
         E_{j i}^*
       \end{bmatrix}_{i, j} \ 
       = \ \begin{bmatrix}
         E_{i j}
       \end{bmatrix}_{i, j} \ 
       = \  E \]
    \[ E^2 \  = \ 
       \begin{bmatrix}
         \sum_{k = 1}^n E_{i k} E_{k j}
       \end{bmatrix}_{i, j} \ 
       = \ \begin{bmatrix}
         \sum_{k = 1}^n E_{i j}
       \end{bmatrix}_{i, j} \ 
       = \ \begin{bmatrix}
         n\,E_{i j}
       \end{bmatrix}_{i, j} \ 
       = \ n\,E \]
    donc $E = \frac{1}{n} E E^*$, donc $E$ est une matrice positive. On peut
    aussi voir que les seules valeurs propres possibles vérifient
    $\lambda^2 = n \lambda$, donc $\lambda \in \{ 0, n \}$, donc sont positives.\\[+5pt]
    Maintenant, puisque $\Phi$ est $n$-positive, $\bm{\Phi}^{[n]}$ est
    une transformation positive par une proposition précédente, donc
    la matrice de Choi $C_{\Phi} =\bm{\Phi}^{[n]} (E)$ est une matrice
    positive. On peut aussi dire que comme $\Phi \otimes \identity_n$ est une
    transformation positive par définition et que $\sum_{i, j} E_{i j}
    \otimes E_{i j}$ est positive, alors
    \[ (\Phi \otimes \identity_n) \bigg( \sum_{i, j} E_{i j} \otimes E_{i j}
       \bigg) \ =\  \sum_{i, j} \Phi(E_{i j}) \otimes E_{i j}
       \ \cong \ 
       \begin{bmatrix}
         \Phi(E_{i j})
       \end{bmatrix}_{i, j} \quad \text{est positive} \]

  (c $\Rightarrow$ d)\footnote{Il existe de nombreuses variations de cette preuve, certains plus formelles (par exemple \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Choi's_theorem_on_completely_positive_maps\#(ii)_implies_(iii)}{celle sur Wikipédia}, qui utilise des projections $\pi_i$ sur la $i$-ème copie de $\mathbb{C}^m$ dans $\mathbb{C}^{mn} \cong \bigotimes^n \mathbb{C}^m$), mais travailler directement avec des matrices par blocs a le mérite d'être plus visuel.} : 
    Puisque $C_{\Phi} \in \mathbb{M}_{(nm)}$ est positive, sa
    décomposition spectrale nous donne des couples vecteurs/valeurs
    propres $(\lambda_k, v_k)_{1 \leqslant k \leqslant r} \in (\mathbb{R}_+
    \times \mathbb{C}^{nm})^r$ avec $r = mn$, de sorte que\footnote{Ici,
    $v_k^*$ désigne le vecteur ligne adjoint à $v_k$, matrice de
    la forme linéaire associée à $v_k$.}
    \[ C_{\Phi} \  = \ \sum_{k = 1}^r v_k \lambda_k v_k^* \ = \ \sum_{k = 1}^r w_k
       w_k^* \quad \text{en absorbant $\lambda_k$ dans $w_k \assign
       \sqrt{\lambda_k} v_k \in \mathbb{C}^{nm}$} \]
    Maintenant, on peut utiliser l'isomorphisme $\mathbb{C}^{nm} \cong
    \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m \cong \mathbb{M}_{m, n} (\mathbb{C})$
    qui nous donne
    \[ w_k = \begin{bmatrix}\begin{array}{cc}
         w_{k, 1}\\
         \hline
         \vdots\\
         \hline
         w_{k, n}
       \end{array}\end{bmatrix} 
       \ \longmapsto \ W_k = \begin{bmatrix}\begin{array}{c|c|c}
         &  & \\
         w_{k, 1} & \cdots & w_{k, n}\\
         &  & 
       \end{array}\end{bmatrix} \in \mathbb{M}_{m, n} \text{\quad avec $w_{k, i} \in \mathbb{C}^m$} \]
    puis vérifier que $\Phi$ coïncide avec la transformation
    linéaire $A \in \mathbb{M}_n (\mathbb{C}) \longmapsto \sum_{k = 1}^r
    W_k AW_k^* \in \mathbb{M}_m$. En effet, elles coïncident sur la
    base $(E_{i j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ de $\mathbb{M}_n$ :\\[+7pt]
    D'une part, $\forall k \in \llbracket 1, r \rrbracket, \forall i_0, j_0
    \in \llbracket 1, n \rrbracket,$
    \[ W_k E_{i_0 j_0} W_k^* \  =
       \ \left[\begin{array}{c|c|c}
         &  & \\
         w_{k, 1} & \cdots & w_{k, n}\\
         &  & 
       \end{array}\right]\cdot \begin{bmatrix}
         \mathbbm{1}_{i i_0}  \mathbbm{1}_{j j_0}
       \end{bmatrix}_{i, j} \cdot \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}
         & w_{k, 1}^* & \\
         \hline
         \  & \vdots & \ \\
         \hline
         & w_{k, n}^* & 
       \end{array}\end{bmatrix} \  =
       \  w_{k, i_0} w_{k, j_0}^*
       \ \in \ 
       \mathbb{M}_m \]
    et d'autre part, on a la matrice par blocs
    \[ w_k w_k^* \ = \ \begin{bmatrix}\begin{array}{cc}
         w_{k, 1}\\
         \hline
         \vdots\\
         \hline
         w_{k, n}
       \end{array}\end{bmatrix} \cdot \Big[\begin{array}{c|c|c}
         w_{k, 1}^* & \cdots & w_{k, n}^*
       \end{array}\Big] \  =
       \ \left[\begin{array}{c|c|c}
         w_{k, 1} w_{k, 1}^* & \cdots & w_{k, 1} w_{k, n}^*\\
         \hline
         \vdots & \ddots & \vdots\\
         \hline
         w_{k, n} w_{k, 1}^* & \cdots & w_{k, n} w_{k, n}^*
       \end{array}\right] \  =
       \ \begin{bmatrix}
         w_{k, i} w_{k, j}^*
       \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
       \ \in \ 
       \mathbb{M}_{(nm)} \]
    donc
    \[ \left[
         \sum_{k = 1}^r W_k E_{i j} W_k^*
       \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n} =
       \ \sum_{k = 1}^r \big[
         w_{k, i} w_{k, j}^*
       \big]_{i, j} \ 
       = \ \sum_{k = 1}^r w_k w_k^*
       \  = \ 
       C_{\Phi} \  = \ \big[
         \Phi(E_{i j})
       \big]_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \]
    En identifiant les blocs, $\forall i, j \in \llbracket 1, n
    \rrbracket$, on a bien ce que l'on voulait :
    \[ \Phi(E_{i j}) \ =\ \sum_{k = 1}^r W_k E_{i j} W_k^* \]

  (d $\Rightarrow$ a) : C'est la proposition \ref{sys-mes-cp}.
\end{proof}

\begin{proof}
  de l'identité $\crk(\Phi) = \rg(C_{\Phi})$.
  \begin{itemize}[label=$\bullet$]
    \item Dans la preuve (c $\Rightarrow$ d) ci-dessus, on effectue la
    décomposition de $C_{\Phi} = \sum_{k = 1}^r v_k \lambda_k v_k^*$.
    On peut en fait toujours prendre $r = \rg(C_{\Phi})$ au lieu de
    $mn$, avec $\lambda_k = 0$ pour $k > r$. Ainsi, on n'a jamais besoin de
    plus de $r$ opérateurs de Kraus : $\crk(\Phi) \leqslant
    \rg(C_{\Phi})$.
    
    \item Maintenant, écrivons $\Phi = A \mapsto \sum_{k = 1}^r W_k
    AW_k^*$. Majorons le rang de la matrice de Choi : on a
    \[ C_{\Phi} \  = \ \big[ \Phi(E_{i j}) \big]_{1 \leqslant i, j \leqslant n}
       \ = \ \left[ \sum_{k = 1}^r W_k E_{i j} W_k^*
       \right]_{i, j} \ = \ \sum_{k = 1}^r
       \begin{bsmallmatrix}
         W_k &  & \\
         & \sddots & \\
         &  & W_k
       \end{bsmallmatrix} \big[ E_{i j} \big]_{i, j}
       \begin{bsmallmatrix}
         W_k^* &  & \\
         & \ddots & \\
         &  & W_k^*
       \end{bsmallmatrix} \]
    donc en utilisant les formules $\rg(A+B) \leqslant \rg(A) + \rg(B)$ et $\rg(AB) \leqslant \min(\rg(A),\rg(B))$,
    \[ \rg(C_{\Phi}) \ \leqslant
       \ \sum_{k = 1}^r \underbrace{\rg
       \left( \begin{bsmallmatrix}
         W_k &  & \\
         & \sddots & \\
         &  & W_k
       \end{bsmallmatrix} \big[ E_{i j} \big]_{i, j}
       \begin{bsmallmatrix}
         W_k^* &  & \\
         & \ddots & \\
         &  & W_k^*
       \end{bsmallmatrix} \right)}_{\leqslant \ 1} \ \leqslant \ r
       \quad \text{puisque} \quad \rg\big( \big[ E_{i j} \big]_{i, j} \big) = 1 \]
    Ainsi, si on choisit $r = \crk(\Phi)$ (nombre minimal
    d'opérateurs de Kraus), on a $\rg(C_{\Phi}) \leqslant \crk(\Phi)$.
  \end{itemize}
\end{proof}

\textbf{Remarque}. Il existe d'autres façons de construire des opérateurs de
Kraus pour $\Phi$. En effet, si l'on effectue la décomposition $C_{\Phi} =
B^* B$ de la matrice de Choi (qui est positive; cette décomposition
n'est d'ailleurs pas unique en général), et si on pose
\[ B = \left[\begin{array}{c|c|c}
     &  & \\
     b_1 & \cdots & b_{nm}\\
     &  & 
   \end{array}\right] \quad \text{avec} \quad b_k \in \mathbb{C}^{nm}, \quad
   \text{on a} \quad C_{\Phi} = \sum_{k = 1}^{nm} b_k b_k^* \]
et on obtient des opérateurs de Kraus $(B_k)_{1 \leqslant k \leqslant nm}$
par le même argument que dans la preuve ci-dessus, mais en général
différents des $(W_k)_{1 \leqslant k \leqslant nm}$, car les vecteurs
$(b_k)_k$ n'ont aucune raison d'être orthogonaux, contrairement aux
vecteurs $(w_k)_k$ obtenus par décomposition spectrale. Toutefois,
comme on vient de le voir, c'est la décomposition spectrale qui minimise
le nombre d'opérateurs de Kraus.

On peut se demander si la décomposition minimale en opérateurs de
Kraus (avec $r = \crk(\Phi)$) est unique. La réponse est
négative. En effet, si on écrit $\Phi = A \mapsto \sum_{k = 1}^r W_k
AW_k^*$ et si on prend une matrice $r \times r$ unitaire $U =
\begin{bmatrix} u_{k l} \end{bmatrix}_{1 \leqslant k, l \leqslant r} \in \mathbb{M}
\mathrm{U}_r (\mathbb{C})$, et que l'on pose $\forall k \in \llbracket 1, r
\rrbracket, \  V_k \assign \sum_{l = 1}^r u_{l k} W_l$, on a
\begin{eqnarray*}
  \forall A \in \mathbb{M}_n (\mathbb{C}), \quad
  \sum_{k = 1}^r \ V_k AV_k^*
  & = & \sum_{k = 1}^r \ \bigg( \sum_{i = 1}^r u_{i k} W_i \bigg)\,A\,\bigg( \sum_{j = 1}^r \bar{u_{j k}} W_j^* \bigg)\\
  & = & \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^r \sum_{k = 1}^r u_{i k} \bar{u_{j k}} W_i AW_j^*\\
  \text{\small[ $U^* = \begin{bmatrix} \bar{u_{l k}} \end{bmatrix}_{k, l}$ ]} \quad
  & = & \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^r \big(UU^*\big)_{i j} W_i AW_j^*\\
  \text{\small[ $UU^* = 1$ car $U$ unitaire ]} \quad
  & = & \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^r \mathbbm{1}_{i j} W_i AW_j^* \ = \ \sum_{i = 1}^{nm} W_i AW_i^* \ = \ \Phi(A)
\end{eqnarray*}


Cette situation est en fait générale. En effet, on a le résultat
suivant, que l'on admet \citepalias[§4.2]{PM990} :\\

\begin{proposition}
Si $(V_k)_k, (W_k)_k \in \big(\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{C})\big)^r$
sont deux décompositions en opérateurs de Kraus de $\Phi$, alors
$\exists \smash{\begin{bmatrix} u_{k l} \end{bmatrix}_{1 \leqslant k, l \leqslant r}} \in \mathbb{M}
\mathrm{U}_r (\mathbb{C})$ une matrice unitaire telle que
\[ \forall k \in \llbracket 1, r \rrbracket, \quad V_k \ = \ \sum_{l = 1}^r u_{l k}\,W_l \]
\end{proposition}

\subsection{Retour aux canaux quantiques}

On est maintenant en mesure de répondre à la question centrale :
{\textit{La condition de complète positivité est-elle suffisante pour
que tout opérateur d'évolution soit un canal quantique ?}}

Soient $\Phi_1 : \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \right)
\longrightarrow \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 1} \right)$ et
$\Phi_2  : 
\mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \right) \longrightarrow
\mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2} \right)$ deux transformations
{\textit{complètement positives}} et préservant la trace. On veut
montrer que
\[ \Phi_1 \otimes \Phi_2 \  :
   \ \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s},
   1} \otimes \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \right) \longrightarrow \mathcal{L}
   \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \otimes \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2}
   \right) \]
est un opérateur d'évolution quantique, c'est à dire positif et
préservant la trace. Pour que tout reste cohérent, on s'attend
même à ce que $\Phi_1 \otimes \Phi_2$ soit complètement positif.\\

\begin{proposition}
  { \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
  Soit $\Phi : \mathcal{L} (\mathcal{H}_1) \longrightarrow \mathcal{L} (\mathcal{H}_2)$
  une transformation complètement positive, et
  \[ \Phi \  = \  A
     \longmapsto \sum_{k = 1}^r M_k AM_k^* \quad \text{avec} \quad
     (M_k)_{1 \leqslant k \leqslant r} \in \mathcal{L} (\mathcal{H}_1,
     \mathcal{H}_2)^r \]
  n'importe quelle décomposition de Choi-Kraus de $\Phi$.}
  Alors\label{cp-decomp-conserv-trace}
  \[ \Phi \text{ préserve la trace} \quad \Longleftrightarrow \quad
     \smash{\sum_{k = 1}^r M_k^* M_k \  =
     \ \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_1}} \]
\end{proposition}

\begin{proof}\ 

	\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}%
	\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}%
	\setlength{\leftskip}{20pt}\setlength{\parindent}{-20pt}%
  ($\Longleftarrow$) :\quad
  $\forall A \in \mathcal{L} (\mathcal{H}_1)$, la trace de $A$ est préservée car
  \begin{eqnarray*}
    \tr(\Phi(A)) \  = \ \tr \left( \sum_{k = 1}^r M_k
    AM_k^* \right) \  = \ \sum_{k = 1}^r \tr(M_k AM_k^*) & = & \sum_{k = 1}^r
    \tr(AM_k^* M_k) \  = \ \tr \left( A \sum_{k = 1}^r
    M_k^* M_k \right)\\ & = & \tr(A 1) \  = \ \tr(A)
  \end{eqnarray*}

  ($\Longrightarrow$) :
    Par préservation de la trace, et par le même calcul, on doit avoir
    $\forall A \in \mathcal{L} (\mathcal{H}_1)$,
    \[ \tr(A) \  = \ \tr(\Phi(A)) \  =
       \ \tr(AU) \quad \text{avec} \quad
       U = \sum_{k = 1}^r M_k^* M_k \]
    En particulier, si on identifie matrice et opérateur, on a $\forall i,
    j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et pour $A = E_{i j}$,
    \begin{eqnarray*}
      \text{si $i \neq j$ :} \quad 0 = \tr(E_{i j}) & = & \tr
      (E_{i j} U) = u_{i i}\\
      \text{si $i = j$ :} \quad 1 = \tr(E_{i i}) & = & \tr(E_{i
      i} U) = u_{i j}
    \end{eqnarray*}
    avec $\begin{bmatrix} u_{i j} \end{bmatrix}_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = U$. Donc $U = \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_1}$.
\end{proof}

Ce que nous dit cette proposition ainsi que la caractérisation
(\ref{sys-mesure-cond}), c'est que tout opérateur d'évolution
complètement positif $\Phi : \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}}
\right) \longrightarrow \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)$
est représenté par un système de mesure $\left( M_k : \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \longrightarrow \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant r}$ à $r$ issues que l'on voit sous la forme (\ref{Ppost}), et toujours de façon non unique.

Ainsi, si l'on revient à nos transformations $\Phi_1$ et $\Phi_2$, on peut
écrire
\[ \Phi_1 \  = \  A
   \longmapsto \sum_{k = 1}^r M_{1, k}\,A\,M_{1, k}^* \quad \text{et} \quad
   \Phi_2 \  = \  B
   \longmapsto \sum_{k = 1}^s M_{2, k}\,B\,M_{2, k}^* \]
Alors $\forall A \in \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \right)$,
$\forall B \in \mathcal{L} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \right)$, on
observe que\footnote{\setlength{\abovedisplayskip}{3pt}\setlength{\belowdisplayskip}{3pt}
Si l'on veut être très explicite, par
définition du produit tensoriel d'applications et par l'isomorphisme des Kronecker,
\begin{eqnarray*}
  (M_{1, k} AM_{1, k}^*) \otimes_{\mathsf{o}} (M_{2, l} BM_{2, l}^*)
  & = & M_{1, k} (A (M_{1, k}^* (\cdot_1))) \otimes_{\mathsf{o}} M_{2, l}
  (B (M_{2, l}^* (\cdot_2)))\\
  & = & \left( M_{1, k} \otimes_{\mathsf{s,o}} M_{2, l} \right) \left( A
  (M_{1, k}^* (\cdot_1)) \otimes_{\mathsf{s}} B (M_{2, l}^*
  (\cdot_2)) \right)\\
  & = & \left( M_{1, k} \otimes_{\mathsf{s,o}} M_{2, l} \right) \left( \left(
  A \otimes_{\mathsf{s}} B \right) \left( M_{1, k}^* (\cdot_1)
  \otimes_{\mathsf{s}} M_{2, l}^* (\cdot_2) \right) \right)\\
  & = & \left( M_{1, k} \otimes_{\mathsf{s,o}} M_{2, l} \right) \left( \left(
  A \otimes_{\mathsf{s}} B \right) \left( \left( M_{1, k}^*
  \otimes_{\mathsf{o,s}} M_{2, l}^* \right) \left( \cdot_1
  \ \otimes_{\mathsf{o}} \cdot_2 \right) \right)
  \right)
\end{eqnarray*}
et on vérifie que $M_{1, k}^* \otimes_{\mathsf{o,s}} M_{2, l}^*
= \left( M_{1, k} \otimes_{\mathsf{s,o}} M_{2, l} \right)^*$.}
\begin{eqnarray*}
  (\Phi_1 \otimes \Phi_2) \left( A \otimes_{\mathsf{s}} B \right) & = & \left(
  \sum_{k = 1}^r M_{1, k} AM_{1, k}^* \right) \otimes_{\mathsf{o}} \left(
  \sum_{l = 1}^s M_{2, l} BM_{2, l}^* \right)\\
  \text{\small[ isomorphisme (\ref{iso-tens-tensappl}) ]} \quad & = &
  \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s \big(M_{1, k} AM_{1, k}^*\big)
  \otimes_{\mathsf{o}} \big(M_{2, l} BM_{2, l}^*\big)\\
  & = & \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s \left( M_{1, k} \otimes_{\mathsf{s,o}}
  M_{2, l} \right)  \left( A \otimes_{\mathsf{s}} B \right)  \left( M_{1, k}
  \otimes_{\mathsf{s,o}} M_{2, l} \right)^*
\end{eqnarray*}
Et comme la famille $\left\{ A \otimes B : A \in \mathcal{L} \left(
\mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \right), B \in \mathcal{L} \left(
\mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \right) \right\}$ génère $\mathcal{L}
\left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \otimes \mathcal{H}_2 \right)$, on en
déduit que l'opérateur d'évolution couplée des systèmes
$1$ et $2$ se met sous la forme
\begin{equation}
  \Phi_1 \otimes \Phi_2 \ = \  C \longmapsto \ \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s M_{k l}\,C\,M_{kl}^* \quad \text{avec} \quad M_{k l} = M_{1, k} \otimes M_{2, l}
\end{equation}
Donc par la proposition \ref{sys-mes-cp}, $\Phi_1 \otimes \Phi_2$ est
complètement positif. C'est en particulier une transformation positive !
Enfin, la famille $\big( M_{k l} : \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \otimes
\mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \longrightarrow \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2}
\otimes \mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2} \big)_{1 \leqslant k \leqslant r, 1
\leqslant l \leqslant s}$ représente bien un système de mesure avec la
proposition \ref{cp-decomp-conserv-trace} car, de la même façon,
\begin{eqnarray*}
  \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s M_{k l}^*\, M_{k l} & = & \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s (M_{1, k} \otimes M_{2, l})^* (M_{1, k} \otimes M_{2,l})\\
  & = & \sum_{k = 1}^r \sum_{l = 1}^s (M_{1, k}^* M_{1, k}) \otimes (M_{2, l}^* M_{2, l})\\
  & = & \left( \sum_{k = 1}^r M_{1, k}^* M_{1, k} \right) \otimes \left(\sum_{l = 1}^s M_{2, l}^* M_{2, l} \right) \ = \ \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_{\mathsf{s},1}} \otimes \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_{\mathsf{s},2}} \ = \ \mathbbm{1}_{\mathcal{H}_{\mathsf{s},1} \otimes \mathcal{H}_{\mathsf{s},2}}
\end{eqnarray*}
$\Phi_1 \otimes \Phi_2$ est donc bien un opérateur d'évolution :
positif et préservant la trace, ce qui est équivalent (par le
théorème \ref{thm-opevol-pos-tr}) à dire que les opérateurs
statistiques, représentant les mélanges d'états, sont envoyés
sur des opérateurs de densité : $\forall P \in
\mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 1} \otimes
\mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \right), \  (\Phi_1
\otimes \Phi_2) (P) \ \in
\mathcal{L}^+_{\tr 1} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}, 2} \otimes
\mathcal{H}_{\mathsf{o}, 2} \right)$.\\

\begin{corollary}
  Les canaux quantiques, en dimension finie, sont exactement les opérateurs d'évolution
  complètement positifs, c'est à dire les transformations linéaires $\mathcal{L}
  \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right) \longrightarrow \mathcal{L} \left(
  \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right)$ complètement positives préservant
  la trace ({\textit{completely positive trace preserving}}, CPTP) :
  \[ \operatorname{CanauxQuantiques} \left( \mathcal{H}_{\mathsf{s}},
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right) \ = \ \big\{ \Phi : \mathcal{L} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{s}} \right) \longrightarrow \mathcal{L} \left(
     \mathcal{H}_{\mathsf{o}} \right) \text{ \textsf{CPTP}} \big\} \]
\end{corollary}

\section{Conclusion}

On a ainsi identifié l'outil de base de la théorie quantique de l'information :

\begin{center}
  {\textit{les transformations complètement positives préservant la
  trace, agissant sur des mélanges d'états}}
\end{center}

Il est à noter que cette notion, bien que très utilisée en théorie quantique de l'information ainsi qu'en informatique et communication quantique, n'est pas l'outil le plus général : on peut avoir à considérer des transformations à trace décroissante, et éventuellement des applications non complètement positives si l'on accepte pas l'axiome \ref{axiom_evol_coupl} en toute généralité.

Les applications complètement positives disposent aussi d'un autre décomposition, donnée par le \textbf{théorème de dilatation de Stinespring}. Cette décomposition a l'avantage de se généraliser en dimension infinie, ce qui permet de généraliser notre conclusion en dimension infinie \citep[th.\,4.1]{Paulsen} :\\
\begin{theorem}
  Soient $\mathcal{A}$ une C*-algèbre unitaire, $\mathcal{B}
  (\mathcal{H})$ l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de
  Hilbert $\mathcal{H}$, et une transformation complètement positive $\Phi : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B} (\mathcal{H})$. Alors il existe un espace de Hilbert $\mathcal{K}$, un \textasteriskcentered-morphisme
  unitaire $\pi : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B} (\mathcal{K})$, et un
  opérateur borné $V : \mathcal{H} \longrightarrow \mathcal{K}$ tel que
  \[ \forall A \in \mathcal{A}, \quad \Phi (A) = V^*\,\pi(A)\,V \]
\end{theorem}

À partir d'ici, on pourrait étudier les canaux de communication quantique (leur capacité, la correction d'erreurs, la compression et l'entropie) \citep{PM990,Watrous}, les mécanismes d'intrication quantique, l'algorithmique quantique, ou encore la théorie de la mesure quantique. Du point de vue mathématique, l'étude des applications complètement positives est toujours active \citep{Poon2009}.

\bibliographystyle{plainnat}
\bibliography{references}

\end{document}
